因为快要WC了所以学一下多项式全家桶,不过国赛大概率是不会考这么难的
因为比初步难所以叫多项式中步
然而好像并不会有多项式高步
基础概念与前置知识
基础概念
只是介绍一下符号和概念
假设(f(x))是一个多项式
([x^i]f(x))表示(f(x))的第i项(也就是(x)的系数为(i)的那一项)
(f(x)mod x^n)相当于是将次数大于等于n的项移除
多项式除法
对于两个多项式,存在唯一的多项式(Q(x),R(x))
可以类比初中的除法
多项式求导
前置知识求导
我博客里曾经有过,但是它咕了
由简单的求导公式和导数运算律
我们可以知道对于一个多项式
积分是求导的逆运算
对于一个导数
全家桶
开个一亿的桶
--zwj1
多项式求逆
只会倍增法
求(f^{-1}(x)mod x^n)
从小往大推
递归边界就是最后等于常数项的逆元
假设已经知道了(mod x^{lceilfrac{n}{2}
ceil})的逆元(g(x))
然后递推出(mod x^{n})的逆元(h(x))(这样记只是为了不写上标)
因为右边的值为0,所以此时两边平方之后会变成(pmod{x^{n}})
两边同除(f(x))
提出一个(g(x))
递归就完了
虽然做了很多次NTT,但是时间复杂度是(nlog n)的
多项式除法
咕咕咕
多项式牛顿迭代
求(g(f(x))equiv0pmod{x^n})
假设已经得到了(mod lceilfrac{n}{2}
ceil)的答案(f_0(x))
将这个函数在(f_0(x))处泰勒展开
易知
(f(x)-f_0(x))的后(lceilfrac{n}{2}
ceil)为(0),所以二次及以上的系数全为(0)
那后面就都没了
大概是因为这个式子长得很像牛顿迭代所以叫他多项式牛顿迭代
具体应用见多项式(exp)和多项式开方
多项式ln(多项式对数函数)
求(ln f(x)pmod{x^n})
设所求为(g(x))
对两边求导
求个逆就完了
因为多项式求逆是(O(nlogn))的,所以它也是(O(nlogn))的
多项式exp(多项式指数函数)
用多项式牛顿迭代
求(f(x)equiv e^{a(x)}pmod{x^n})
(这里把(f(x))看做参数,(a(x))看做常数)
带入牛顿迭代的式子
因为多项式(ln)是(O(nlogn))的,所以它还是(O(nlogn))的(迫真)
多项式快速幂
低级做法
直接快速幂
时间复杂度(O(nlog nlog k))
先求(ln)再乘(k)再求(exp)
时间复杂度(O(nlog n))
好像这样可以实现(O(1))快速幂QAQ
多项式开方
就是对于一个(f(x)),求一个(g(x))
使得(g^2(x)=f(x)pmod{x^n})
倍增法
和多项式求逆一样的颓法
边界一样(因为板子保证了([x^0]a(x)=1)所以不用写二次剩余)
牛顿迭代法
设
迫真(nlog n)法
用多项式快速幂求(a(x)^{frac{1}{2}})
多项式多点求值
咕
多项式快速插值
咕