Miller Rabin 素性测试

Miller_Rabin素性测试：

二次探测定理：

(p)是质数，且(x^2equiv 1 pmod p)
则：

(xequiv1pmod p)或(xequiv p-1pmod p)，且他的逆定理成立。

证明：

[ecause x^2equiv 1pmod p ]

[ herefore (x+1)(x-1)equiv 0pmod p ]

[ herefore p|(x+1)$$或 $$ p|(x-1) ]

( herefore)得证。

至于逆定理为啥成立我也不知道

欧拉函数：

(phi (x))表示(<x)的数中与(x)互质的数的个数。

显然，一个合数的(phi)值很小。

Miller_Rabin算法：

假设我现在要测(n)是否是素数，钦定(n>2)

随机几个素数(a)，对于每一个(a)，计算：

[a^{n-1}mod n ]

因为(n)是奇数，
所以(n-1)是偶数.

将$$a^{n-1}mod n$$

分解成$$a^{2k*t}mod n$$

计算时，先算(a^t)，然后不停平方，每次用二次探测定理判断他是否是素数。最后算到(a^{n-1})，用费马小定理判断是否是素数。如果

[a^{n-1}mod n!equiv 1 ]

那么n一定是合数。

如果(a^{2^i*t}equiv 1pmod n)符合二次探测定理

而且(a^{2^{i-1}*t}!equiv 1pmod n)

并且(a^{2^{i-1}*t}!equiv n-1pmod n)

那么n就是合数。

以上都没判断出来的，就有(frac{3}{4})的几率是质数了。

证明：

据说可以用欧拉函数证，但我不会证qwq

Code

bool check(int p,ll n)
{
    if(p==n)
	    return 1;
    if(quick_pow(p,n-1,n)!=1)
	    return 0;
    ll s=0,k=n-1;
    while(!(k&1))
    {
		k>>=1;
		s++;
    }
    ll last=quick_pow(p,k,n);
    for(int i=1;i<=s;i++)
    {
        ll now=last*last%n;
        if(now==1)
	        return last==n-1||last==1;
        last=now;
    }
    return 0;
}

等等，还有一件事！

当 (N<4,759,123,141)，选取 (a=2,7,61) 即可确保算法得出正确结果。

当(N<3,825,123,056,546,413,051≈3*10^{18})，选取(a=2,3,5,7,11,13,17,19,23)即可确保算法得出正确结果。

当(N<18,446,744,073,709,551,616=2^{64})，选取 (a=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37)即可确保算法得出正确结果。