(color{#0066ff}{ 题目描述 })
给定 (n)组非负整数 (a_i, b_i),求解关于 (x)的方程组(egin{cases} x equiv b_1 ({ m mod} a_1) \ xequiv b_2 ({ m mod} a_2) \ ... \ x equiv b_n ({ m mod} a_n)end{cases})
的最小非负整数解。
(color{#0066ff}{输入格式})
输入第一行包含整数 (n)。
接下来 (n)行,每行两个非负整数 (a_i, b_i)。
(color{#0066ff}{输出格式})
输出一行,为满足条件的最小非负整数 (x)。
(color{#0066ff}{输入样例})
3
11 6
25 9
33 17
(color{#0066ff}{输出样例})
809
(color{#0066ff}{数据范围与提示})
(n≤10^5,1≤ai≤10^{12},0≤bi≤10^{12},bi<ai),保证答案不超过 (10^{18})。
请注意程序运行过程中进行乘法运算时结果可能有溢出的风险。
数据保证有解
(color{#0066ff}{ 题解 })
考虑已经求出前k-1个方程的解,即当前的x满足前k-1个方程,考虑第k个
发现x加减N(前k-1个方程的(a_i)的lcm)的整数倍,这个x依然满足前k-1个方程
因此我们要找到t,使得(x+t*Nequiv b_imod a_i)
移项,(t*Nequiv b_i-xmod a_i)
因此(k*a_i+t*N=b_i-x)
这可以扩欧求,求出最小的非负整数解,更新ans就行了
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
char ch; LL x = 0, f = 1;
while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
return x * f;
}
const int maxn = 1e5 + 10;
LL A[maxn], B[maxn], n;
LL msc(LL x, LL y, LL z) {
LL re = 0;
while(y) {
if(y & 1) re = (re + x) % z;
x = (x + x) % z;
y >>= 1;
}
return re;
}
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
if(!b) return x = 1, y = 0, a;
LL r = exgcd(b, a % b, x, y);
LL t = x - a / b * y;
return x = y, y = t, r;
}
LL excrt() {
LL ans = B[1], N = A[1];
for(int i = 2; i <= n; i++) {
LL x, y, c = ((B[i] - ans) % A[i] + A[i]) % A[i];
LL gcd = exgcd(A[i], N, x, y);
if(c % gcd) return 233;
y = msc(y, c / gcd, A[i] / gcd);
ans += y * N;
N *= A[i] / gcd;
((ans %= N) += N) %= N;
}
return ans;
}
int main() {
n = in();
for(int i = 1; i <= n; i++) A[i] = in(), B[i] = in();
printf("%lld
", excrt());
return 0;
}