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  • P3230 [HNOI2013]比赛

    $ color{#0066ff}{ 题目描述 }$

    沫沫非常喜欢看足球赛,但因为沉迷于射箭游戏,错过了最近的一次足球联赛。此次联 赛共N支球队参加,比赛规则如下:

    (1) 每两支球队之间踢一场比赛。 (2) 若平局,两支球队各得1分。

    (3) 否则胜利的球队得3分,败者不得分。 尽管非常遗憾没有观赏到精彩的比赛,但沫沫通过新闻知道了每只球队的最后总得分, 然后聪明的她想计算出有多少种可能的比赛过程。

    譬如有3支球队,每支球队最后均积3分,那么有两种可能的情况:

    可能性1 可能性2

     球队  A  B  C  得分   球队 A  B  C  得分
      A   -  3  0   3      A  -  0  3   3
      B   0  -  3   3      B  3  -  0   3 
      C   3  0  -   3      C  0  3  -   3 
    

    但沫沫发现当球队较多时,计算工作量将非常大,所以这个任务就交给你了。请你计算 出可能的比赛过程的数目,由于答案可能很大,你只需要输出答案对(10^9+7)取模的结果

    (color{#0066ff}{输入格式})

    第一行是一个正整数N,表示一共有N支球队。 接下来一行N个非负整数,依次表示各队的最后总得分。

    (color{#0066ff}{输出格式})

    仅包含一个整数,表示答案对10^9+7取模的结果

    (color{#0066ff}{输入样例})

    4
    4 3 6 4
    

    (color{#0066ff}{输出样例})

    3
    

    (color{#0066ff}{数据范围与提示})

    输入保证

    20%的数据满足N<=4,

    40%的数据满足N<=6,

    60%的数据满足N<=8,

    100%的数据 满足3<=N<=10且至少存在一组解。

    (color{#0066ff}{题解})

    一看n这么小,先想爆搜吧

    肯定是搜索共(frac{n*(n-1)}{2})场比赛的情况,然后判断是否合法

    然后开始剪枝qwq

    1、到最后统计答案的时候,肯定要判断合不合法,不如搜索的时候就判断是否超过分数上限

    2、对于当前的人,如果他赢了接下来所有的比赛都拿不到该有的分,就剪掉

    3、这是一个很强的剪枝,我们设赢的场次为x,输的场次为y,那么显然(x+y=frac{n*(n-1)}{2},3x+2y=sum a_i)

    然后我们就可以解出x和y,从而剪掉大量的分支!

    4、 记忆化!

    如果人数确定,每个人得分确定,那么答案唯一

    所以对于剩下人的方案,可以记忆化一下,把每个人的得分hash一下存起来

    #include<bits/stdc++.h>
    #define LL long long
    LL in() {
    	char ch; LL x = 0, f = 1;
    	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
    	return x * f;
    }
    const int mod = 1e9 + 7;
    std::map<LL, LL> mp;
    int n, ans;
    int a[20], ls[20], win, orz, b[20];
    int dfs(int x, int y) {
    	if(x == n) return 1;
    	if(ls[x] + 3 * (n - y + 1) < a[x]) return 0;
    	LL tot = 0;
    	if(y > n) {
    		for(int i = x + 1; i <= n; i++) b[i] = a[i] - ls[i];
    		std::sort(b + x + 1, b + n + 1, std::greater<int>());
    		LL zt = 0;
    		for(int i = x + 1; i <= n; i++) zt = zt * 28LL + b[i];
    		if(mp.find(zt) != mp.end()) return mp[zt];
    		else return mp[zt] = dfs(x + 1, x + 2);
    	}
    	if(ls[x] + 3 <= a[x] && win) {
    		ls[x] += 3, win--;
    		tot += dfs(x, y + 1);
    		ls[x] -= 3, win++;
    	}
    	if(ls[y] + 3 <= a[y] && win) {
    		ls[y] += 3, win--;
    		tot += dfs(x, y + 1);
    		ls[y] -= 3, win++;
    	}
    	if(ls[x] + 1 <= a[x] && ls[y] + 1 <= a[y] && orz) {
    		ls[x]++, ls[y]++, orz--;
    		tot += dfs(x, y + 1);
    		ls[x]--, ls[y]--, orz++;
    	}
    	return tot;
    }
    int main() {
    	n = in();
    	for(int i = 1; i <= n; i++) win += (a[i] = in());
    	win -= n * (n - 1);
    	orz = (n * (n - 1) >> 1) - win;
    	std::sort(a + 1, a + n + 1, std::greater<int>());
    	printf("%d", dfs(1, 2) % mod);
    	return 0;
    }
    
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