复数有毒。。。(不过貌似数学得学)
定义
在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d)):
z1 + z2=(a+c,b+d)
z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)
容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,有
z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)
令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a,0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。
记(0,1)=i,则根据我们定义的运算,(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi,i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。
概念
形如
的数称为复数,其中规定i为虚数单位,且
(a,b是任意实数)
![](https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D64/sign=b4bd24605cdf8db1b82e7f600b230cd4/f636afc379310a555bc4fb0cb54543a983261061.jpg)
![](https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D48/sign=78d27311f0d3572c62e29dd48b138382/2e2eb9389b504fc2a76194fde7dde71190ef6d0f.jpg)
我们将复数
中的实数a称为复数z的实部,记作Rez=a,实数b称为复数z的虚部,记作 Imz=b。
![](https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D64/sign=b4bd24605cdf8db1b82e7f600b230cd4/f636afc379310a555bc4fb0cb54543a983261061.jpg)
当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。
复数的集合用C表示,实数的集合用R表示,显然,R是C的真子集。
复数集是无序集,不能建立大小顺序。
复数的模
对于复数
,它的模
![](https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D64/sign=b4bd24605cdf8db1b82e7f600b230cd4/f636afc379310a555bc4fb0cb54543a983261061.jpg)
![](https://gss1.bdstatic.com/9vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D93/sign=609cb8248813632711edce30908f9fbf/37d12f2eb9389b503e81c4aa8735e5dde6116ecf.jpg)
运算法则
加法法则
![](https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D240/sign=17f9838dd488d43ff4a996f64d1cd2aa/b219ebc4b74543a969dcde341c178a82b8011406.jpg)
几何意义:坐标为a,b代表a+bi,相加相当于与原点相连的矢量相加,平行四边形定则
乘法法则
![](https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D259/sign=73cfe5feadc379317968812cd2c5b784/b999a9014c086e0616aa18b300087bf40bd1cbc3.jpg)
几何意义:模长相乘
除法法则
复数除法定义:满足
的复数
叫复数a+bi除以复数c+di的商。
![](https://gss1.bdstatic.com/9vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D167/sign=59711d3c33adcbef05347a009bad2e0e/9825bc315c6034a8d70c9c79c91349540823765f.jpg)
![](https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D103/sign=2a78453dc5177f3e1434f80d43ce3bb9/0eb30f2442a7d933332533f8a14bd11372f001a8.jpg)
运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算,
即
![](https://gss3.bdstatic.com/7Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D327/sign=085c0e290e55b31998f9847774a88286/6f061d950a7b0208dc6b7dc966d9f2d3572cc87c.jpg)
开方法则
若zn=r(cosθ+isinθ),则
![](https://gss1.bdstatic.com/-vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D264/sign=a48a13eb43c2d562f608d7ebd31090f3/b03533fa828ba61eb56175a44d34970a314e59a9.jpg)
运算律
加法交换律:z1+z2=z2+z1
乘法交换律:z1×z2=z2×z1
加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法结合律:(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)
分配律:z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3
i的乘方法则
i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(其中n∈Z)
之后循环。。。
分类
复数分为实数和虚数两大类.
实数又分为有理数和无理数两大类.
有理数可分为整数和分数两大类,
整数可分为正整数,负整数,0.
分数可分为正分数,负分数.
实数又分为有理数和无理数两大类.
有理数可分为整数和分数两大类,
整数可分为正整数,负整数,0.
分数可分为正分数,负分数.
![](https://i.loli.net/2018/08/14/5b7273b9220b2.png)
令$Large{omega_n^m}$为第m个n次根,也就是$omega_n$的m次方,在单位圆上平分n份,此为第m个