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简单的说，计算机就是晶体管、电路板组装起来对的电子设备，无论是图形图像的渲染、网络远程共享，还是大数据计算，归根结底都是 0 与 1 的信号处理。信息存储和逻辑计算的元数据，只能是 0 与 1，但是它们在不同介质里的物理表现方式却是不一样的，如三极管的断电与通电、CPU的低电平与高电平、磁盘的电荷左右方向。明确了0与1的物理表现方式后，设定基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，所以称为二进制。
回归正题，如何计算二进制数的取值范围呢？比如，Java中的 int 数据类型是32位，那么 int 所能表现的范围是多少呢？
设想有 8 条电路，每条电路有低电平和高电平两种状态。根据数学排列组合，有 8 个 2 相乘，即 2^8，能够表示 256 种不同的信号。假设表示区间为 0~255，最大数即为 2^8 -1 = 256 -1 = 255，减去 1 的原因是因为第一个数用来表示 0，所以可表示的总数减 1 就等于最大数，那么 32 条电路能够表示的最大数为 （2^32-1）= 4,294,967,295。平时所说的 32 位机器，就能够同时处理字长为 32 位的电路信号。
如何表示负数呢？上面的 8 条电路，最左侧的一条表示正负，0 表示正数，1 表示负数，该位为符号位，不参与数值运算表示。8 条电路，实际的数值部分只有 7 位，那么最大值用二进制表示即为 0111 1111 即 127。
你也可以换种思维去理解，数值部分有 7 位，根据数学排列组合，有 7 个 2 相乘，即 2^7 ，能够表示 128 种信号。加上第一位符号位的 0 或 1，能够表示 128 x 2 = 256 种信号。包括正数 128 个、负数 128 个，范围即 0 ～ 127、-128 ～ -1，表示范围因有正负之分而改变为 -128 ～127。
二进制整数最终都是以补码形式出现的。正数的补码与原码、反码是一样的，而负数的补码是反码加 1 的结果。这样使减法运算可以使用加法器实现，符号位也参与运算。需要注意的是，负数的原码、反码、补码的符号位始终是 1，只有数值部分参与原码到反码、原码到补码的转换运算。
回到原来的问题，Java中的 int 数据类型是 32 位，那么 int 所能表现的范围是多少呢？
数值部分所能表示的范围个数是 2^31，算上符号位的 0 或 1，即正数范围 0 ～ 2^31-1，负数范围为 -2^31 ～ -1，合计为 -2^31 ～ 2^31-1。
参考资料
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《码出高效：Java开发手册》
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