Coursera Machine Learning : Regression 简单回归

　简单回归

　　这里以房价预测作为例子来说明：这里有一批关于房屋销售记录的历史数据，知道房价和房子的大小。接下来就根据房子的大小来预测下房价。

　　简单线性回归，如下图所示，找到一条线，大体描述了历史数据的走势。

　　f(x) 代表房价的预测值

　　wo 代表截距(intercept) 相关系数

　　w1 代表特征（房子大小）的相关系数(coefficient)

　　x 代表房子的大小

　　yi 代表房价真实值

　　xi 代表房子大小的真实值

　　εi 代表真实值与预测值之间的误差

　　

　　已知x,只要求出wo和w1就能简单的对房价进行预测,但是w0和w1的值如何选择，更能准确的描述历史数据，更能准确的进行预测？

　　这里要注意区分如下两个点：

　　　　1、更准确的描述测试数据的点。

　　　　2、更准确的对数据进行预测。

　　更准确的描述测试数据，并不能代表可以更准确的对数据进行预测。后面会进一步讨论。

　　咱们回到w0和w1值的选择，每种w0和w1的选择都会形成一条线，咱们先讨论如何评价每条线的“代价”。

　　　　

　　RSS残差平方和，针对每个测试数据，将真实值与预测值的差值进行平方，并将所有的结果进行求和。

　　

　　RSS的值越小，就说明这条线更准确的描述了测试数据的点。

　　

　　w0和w1的值为多少的时候RSS的值最小呐？

　　

　　

　　先简单回顾一下，凹凸函数，

　　凹函数（concave）有最大值点，凸函数（convex）有最小指点，另凸凹函数的导数为0，则可求出极值点。

　　比如g(w) = 5-(w-10)² , 对 g(w)求导 = 0 - 2(w-10)¹ = -2w + 20 = 0, w = 10

　　　　将w = 10 代入源函数g(10) = 5 - (10 - 10)² = 5, 极大值为5

　　

　　通过下山方法查找最小值，如下图：

　　取w^(t)，当W^(t)的导数小于0，说明W^(t)在最小值的左边，需要右移动增加一步，

　　　　     当W^(t)的导数大于0，说明W^(t)在最小值的右边，需要左移动增加一步，直到结果无限接近于0

　　将增加一步的大小量化,记作步长μ，将无限接近于0量化为阀值ε，这种方式是进行迭代计算，直到结果小于阀值，结束运算，不然将根据步长迭代计算。

　　

　　

 　　根据上述的描述，可以计算出RSS的值取最小值时w0和w1的值：

　　1、直接将倾斜度置为0，计算导数为0的结果。

　　2、梯度下降，迭代运算，取最小值为小于阀值。

　　接下来进行公式推导，求出具体的值。

　　根据之前的推导知道RSS的公式，然后分别对w0和w1进行求导，求导结果如下：

　　

　　

　　通过方法一求w0和w1,将结果置为0

　　w₁ =  (Σy_ix_i - Σy_iΣx_i/N) / (Σx_i² - Σx_iΣx_i) 

      w₀ =  Σy_i/N - w₁(Σx_i/N)

　　需要知道

　　Σy_i 房价总和

      Σx_i 房屋总大小

　　Σx_i²  房屋大小平方和

　　Σy_ix_i 房价和房屋大小乘积和

　　

　　

　　方法二，梯度下降算法实现，如下图：

　　

　　

　　

　　

　　贴两个具体的计算实例，方便大家理解：