关于求已知整数数组的连续子数组的最大和的方法

日期：2019.3.9

博客期：040 

星期六

　　这次的标题就是题目——关于求已知整数数组的连续子数组的最大和的方法，打个比方：给予数组 { 1 , -2 , 3 , -1 , 0 , 2 } ,它的连续子数组的最大和就是取得 { 3 , -1 , 0 , 2 } 时的和 4 ！就是说我们需要找到元素值和最大的子数组。我们大可以考虑几种方法：

　　（1）先求出所有的子数组，再找出每一组的和，求出和的最大值 >>>>>>>（优化）>>>>>>>>求子数组的时候考虑负数的情况，并同时记录最大值

　　（2）通过假设的方法，最大值一定存在于这个数组，所以先求出最大值，之后围绕最大值向两边延申使得问题得到解决>>>>>>>>>(经验证，方法错误)>>>>>>>>> { 5 , -1 , 7 , -20 , 9 } (取得11)

　　（3）[个人思想方法]

　　　　我们从输入的第一个正数开始，计算它们的和记作Tnum(正数和)，直到输入的数是负数，开辟一个Fnum（负数和）,记录从此之后的负数和，直到输入的下一个数是正数。此时，判断 Tnum + Fnum 的大小是否大于 0 ，[注：只有负数转正数的时候判断] ，大于的话就更新Tnum的值为Tnum + Fnum + p ( p 值为你本次输入的值) ，小于或等于的话取 Tnum 为 p 。在每一次的循环中记录 Tnum 和 p 最大值 ,也就是最后的结果了。

　　　　[实例：{ -3 ，2 ，-1，0，3  ，3 ，-4，3 } ]

　　　　我们从输入的第一个数开始，-3不是正数，跳过，2是正数，我们把它记录到 Tnum 中，Tnum = 2 ，之后直到输入的是负数，所以输入的 -1 是负数 ，我们把它记录到 Fnum 中，Tnum = 2 , Fnum = -1，之后输入的是 0 ，不是正数，记录到 Fnum中，Fnum = -1 + 0 = -1，再下一个输入的是 3 ，我们知道 3 是正数，所以进行判断，因为 Tnum + Fnum = 1 > 0 , 所以我们需要把 Tnum 更新成 Tnum + Fnum + p , 这样 Tnum = 2 + ( -1 ) + 3 = 4 , （如果第二个数是 1 ，我们就要把 Tnum 设成 3 了），之后继续，输入的 3 是正数，就继续 Tnum = 4 + 3 = 7 , 下一个是 -4 ， 我们把 Fnum 更新成 -4 , [ 注 ： Fnum 就是单纯的记录输入的两次正数之间的负数和 ]，而且下一个是 3 ，我们知道 Tnum + Fnum > 0 , 所以Tnum =  7 + ( -4 ) + 3  = 6 , 最终我们得到了 p 的最大值 3 和 Tnum 的最大值 7 , 所以我们的结果就是 7 啦！

　　　　实际结果：{ 2 , -1 , 0 , 3 , 3} 

　　　　我的代码：　　

void My_Way()
{
    //定义长度
    int n;
    //输入长度
    cin>>n;
    //最大值
    int rmax = -10000;
    //正数总值
    int Tnum = -10000;
    //负数总值
    int Fnum = 0;
    //记录是否发生转变
    int sis = 0;
    //标记是第几程度
    int attitude = 0;
    //循环
    for(int i = 0 ; i < n ; ++i)
    {
        int p;
        cin>>p;
        if(attitude==0)                    //---------------------------------------[寻找第一个正数]
        {
            if(p<=0)
                ;
            else
            {
                Tnum = p;
                attitude = 1;
            }
        }
        else if(attitude==1)            //---------------------------------------[上一个数为正数]
        {
            if(p<0)
            {
                if(sis==0)
                {
                    sis = 1;
                    Fnum += p;
                }
                else
                    Fnum = p;
                attitude = -1;
            }
            else
                Tnum += p;

            if(Tnum>rmax)
                rmax = Tnum;
        }
        else                            //---------------------------------------[上一个数为负数]
        {
            if(p>0)
            {
                attitude = 1;
                if(Tnum + Fnum > 0)
                    Tnum = (Tnum + Fnum) + p;
                else
                    Tnum = p;
            }
            else
                Fnum += p;
        }
        /*
        cout<<"p="<<p<<endl;
        cout<<"rmax="<<rmax<<endl;
        cout<<"(p>rmax)="<<(p>rmax)<<endl;
        */
        if(p>rmax)
            rmax = p;
        if(Tnum>rmax)
            rmax = Tnum;
    }
    cout<<rmax<<endl;
}

　　　　我的这种方法，其实还有可以优化的地方，比如对于关系的判断啊！ attitude 只能取得 -1 ， 0 ， 1 三个值，而我们对于它的判定有以下概率问题;

　　　　目前，我的方法空间复杂度较低（没有使用数组），时间复杂度为 O( n ) ;

　　1、取1个值，没有实际意义

　　2、取2个值：

　　　　attitude的判断值 ： 

　　　　排列　　　　0 1 -1　　　　 1 -1 0  　　　　...

　　　　<1> 1 1　　查询3次　　　查询4次　　　　 ...

　　　　<2> 1 -1　　查询3次　　  查询4次　　　　 ...

　　　　<3> -1 1　　查询2次　　  查询6次　　　　 ...

　　　　<4>-1 -1　　查询2次　　  查询6次　　　　 ...

　　　　对于attitude的判断次数的数学期望最小值为 2.5；

　　3、取3个值

　　　　attitude的判断值

　　　　<1> 1 1 1　　　 查询5次

　　　　<2> 1 1 -1　　　查询5次

　　　　<3> 1 -1 1　　   查询6次

　　　　<4> 1 -1 -1         查询6次

　　　　<5> -1 1 1　　   查询4次

　　　　<6> -1 1 -1　　  查询4次

　　　　<7> -1 -1 1　　  查询3次

　　　　<8> -1 -1 -1　　 查询3次

　　　　对于attitude的判断次数的数学期望最小值为 4.5；

　　　所以我写的应该是最优的判断顺序了！

　　(4) 同学的宝贵方法

　　　　取输入的第 i 个元素值为 a[i] , 还有前 i 项的和为 S[i] , 所以有：

　　　

　　　　而我们也可以使用 S[n] 来表示 a[n] ;

　　　　

　　　　从而引导处真正的连续项和的公式：

　　　　

　　　　我们现在可以使用 a 数组储存我们输入的数，并同时计算前几项的和记录到数组 S 中。

　　　　【初始想法】 之后只要找到 S 数组里的最大值和最小值，之后做差，不就可以得到最大值了。

　　　　<问题>你可以想想如何求数组里和的最小值？就是最小值减去最大值？当然不是！因为必须要控制 i <= j , 使得求出来的是连续和。

　　　　【改进方法】所以我们继续我们制作限定，使用 min_p 记录位于当前输入的数之前的最小的 S 数组里的值，使用 max_p 记录所有 ( p - min_p ) 中最大的值，记录到最后 max_p 就是所求的最大值了。

　　　　我根据同学的思想，制作了C++代码：

　　　　1、制作初步的实现

　　　　

void Friend_Way()
{
    //原理 p[i] + p[i+1] + p[i+2} + ... + p[j-1] + p[j] = S[j] - S[i-1]

    int n;
    //n是总数组大小
    cin>>n;
    //储存初始数组
    int * q = new int [n];
    //储存前i项和，即 p[i] = q[0] + q[1] + q[2] + ... + q[i]
    int * p = new int [n+1];
    //预处理
    cin>>q[0];
    p[0] = q[0];

    //记录最大值
    int final_max = q[0];
    //记录p[i]目前达到的最小值
    int min_pos = 0;

    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        cin>>q[i];
        p[i] = q[i] + p[i-1];
        if(p[min_pos]>=p[i-1])
        {
            min_pos = i-1;
        }
        if(p[i]-p[min_pos]>final_max)
            final_max = p[i] - p[min_pos];
    }
    cout<<endl;
    cout<<"最终结果："<<final_max<<endl;
}

　　　　2、节约空间，不再使用 数组 S

　　　　

void Friend_Way_S()
{
    int n;
    cin>>n;
    int * q = new int [n];
    cin>>q[0];
    //最终值
    int rmax = q[0];
    //和值
    int sum = q[0];
    //最小的值
    int min = q[0];

    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        cin>>q[i];
        sum += q[i];
        if(sum-min>rmax)
            rmax = sum - min;
        if(min>sum)
            min = sum;
    }
    cout<<endl;
    cout<<"最终结果："<<rmax<<endl;
}

　　　　3、节约空间，不再使用 数组 a

　　　　

void Friend_Way_SS()
{
 int n;
 cin>>n;
 int p;
 cin>>p;
 //最终值
 int rmax = p;
 //和值
 int sum = p;
 //最小的值
 int min = p;

 for(int i=1;i<n;++i)
 {
  cin>>p;
  sum += p;
  if(sum-min>rmax)
   rmax = sum - min;
  if(min>sum)
   min = sum;
 }
 cout<<endl;
 cout<<"最终结果："<<rmax<<endl;
}

如果大家还有什么疑问，欢迎给我留言，大家一起交谈。