[POJ]P1845 Sumdiv

原题链接：P1845 Sumdiv

题意

给定$A,B$，求$A^B$对9901取模的值。

分析

先说说我的第一思路：模数是很小的，完全可以开一个桶放下所有的幂次方。

所以我们可以把每个数分解质因数了，然后把每个质数的所有幂次方装进桶里。

然后我们从$1$到$9901$枚举每一位，同时统计他们的个数积，最后答案加上(个数积$ imes$幂次方积)就可以了。。

发现时间有点爆炸。。。

而且这些所谓的优化好像是用处不大的。。

考虑从数论的层面上解决？？

首先$$A^B=p_1^{Ba_1} imes p_2^{Ba_2} imes cdots imes p_m^{Ba_m}$$

那么所有的质因数的和就是枚举每一位指数

我们先提取含$p_1$的式子

$$sum_{k_1,k_2,cdots ,k_m}^{k_1leq Ba_1,k_2leq Ba_2,cdots ,k_mleq Ba_m}{({p_1}^{k_1}+{p_2}^{k_2}+cdots +{p_m}^{k_m})(cdots)}$$

然后我们把后面的也化简之后，每个因数就剩下它的等比数列求和了，我们利用求和公式

最后答案就是$$sum_{i=1}^m{frac{p_i^{Ba_i+1}-1}{p_i-1}}$$

我们对每一个$p_i-1$求一下逆元就ok了。

但是这道题真的这么简单吗。。。

逆元通常求法是费马小定理或是exgcd，这些都要求模数与求的数互质。。

这道题显然不一定互质。。

怎么办呢？

$x=frac{a}{b} mod{p}=frac{amod pb}{b}$

这样就可以了（写了一上午心态爆炸）。。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define Mid ((l+r)<<1)
using namespace std;
const int N=2e7+1009;
const ll mod=9901;
ll read(){
    char c;ll num,f=1;
    while(c=getchar(),!isdigit(c))if(c=='-')f=-1;num=c-'0';
    while(c=getchar(), isdigit(c))num=num*10+c-'0';
    return f*num;
}
ll a,b,ans=1;
ll ksc(ll x,ll y,ll md){
    return (x*y-(ll)((long double)x/md*y)*md+md)%md;     
}
ll Pow(ll a,ll p,ll md){
    ll ans=1;
    for(;p;p>>=1,a=ksc(a,a,md))
        if(p&1)ans=ksc(a,ans,md);
    return ans;
}
int main()
{
    //cout<<ksc(111,111)<<endl;
    a=read();b=read();
    if(a==0){
        printf("0
");
        return 0;
    }
    for(int i=2;i<=sqrt(a);i++){
        if(a%i)continue;
        int num=0;
        while(a%i==0)num++,a/=i;
        ans=ksc(ans,(Pow(i,num*b+1,mod*(i-1))+(mod*(i-1))-1)/(i-1),mod);
    }
    if(a>1)
        ans=ksc(ans,(Pow(a,b+1,mod*(a-1))+(mod*(a-1))-1)/(a-1),mod);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}