【BZOJ】2337: [HNOI2011]XOR和路径 期望+高斯消元

【题意】给定n个点m条边的带边权无向连通图（有重边和自环），在每个点随机向周围走一步，求1到n的期望路径异或值。n<=100，wi<=10^9。

【算法】期望+高斯消元

【题解】首先异或不满足期望的线性，所以考虑拆位。

对于每一个二进制位，经过边权为0仍是x，经过边权为1变成1-x（转化成减法才满足期望的线性）。

设f[x]表示点x到n的路径xor期望，f[n]=0，根据全期望公式：

$$f[i]=sum_{j}frac{f[j]}{out[i]} , w(i,j)=0$$

$$f[i]=sum_{j}frac{1-f[j]}{out[i]} , w(i,j)=1$$

因为有循环所以用高斯消元求解，复杂度O(n^3*log wi)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=110;
struct edge{int v,w,from;}e[maxn*maxn*2];
int n,m,first[maxn],tot,out[maxn];
long double a[maxn][maxn],ans;
void insert(int u,int v,int w){tot++;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;out[u]++;}
void gauss(){
    for(int i=1;i<n;i++){
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i]))r=j;
        if(r!=i)for(int j=i;j<=n+1;j++)swap(a[i][j],a[r][j]);
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            for(int k=n+1;k>=i;k--)
                a[j][k]-=a[j][i]/a[i][i]*a[i][k];
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        for(int j=i+1;j<=n;j++)a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];
        a[i][n+1]/=a[i][i];
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        insert(u,v,w);
        if(u!=v)insert(v,u,w);//
    }
    for(int k=0;k<=30;k++){
        memset(a,0,sizeof(a));// 
        for(int x=1;x<n;x++){
            for(int i=first[x];i;i=e[i].from){
                if(e[i].w&(1<<k)){
                    a[x][e[i].v]--;// 
                    a[x][n+1]--;
                }
                else a[x][e[i].v]++;
            }
            a[x][x]-=out[x];// 
        }
        a[n][n]=1;
        gauss();
        ans+=a[1][n+1]*(1<<k);
    }
    printf("%.3Lf",ans);
    return 0;
}

注意：

1.方程组右边是常数项。

2.自环不要重复加边。