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  • 【BZOJ】2337: [HNOI2011]XOR和路径 期望+高斯消元

    【题意】给定n个点m条边的带边权无向连通图(有重边和自环),在每个点随机向周围走一步,求1到n的期望路径异或值。n<=100,wi<=10^9。

    【算法】期望+高斯消元

    【题解】首先异或不满足期望的线性,所以考虑拆位。

    对于每一个二进制位,经过边权为0仍是x,经过边权为1变成1-x(转化成减法才满足期望的线性)。

    设f[x]表示点x到n的路径xor期望,f[n]=0,根据全期望公式:

    $$f[i]=sum_{j}frac{f[j]}{out[i]} , w(i,j)=0$$

    $$f[i]=sum_{j}frac{1-f[j]}{out[i]} , w(i,j)=1$$

    因为有循环所以用高斯消元求解,复杂度O(n^3*log wi)。

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int maxn=110;
    struct edge{int v,w,from;}e[maxn*maxn*2];
    int n,m,first[maxn],tot,out[maxn];
    long double a[maxn][maxn],ans;
    void insert(int u,int v,int w){tot++;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;out[u]++;}
    void gauss(){
        for(int i=1;i<n;i++){
            int r=i;
            for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i]))r=j;
            if(r!=i)for(int j=i;j<=n+1;j++)swap(a[i][j],a[r][j]);
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                for(int k=n+1;k>=i;k--)
                    a[j][k]-=a[j][i]/a[i][i]*a[i][k];
        }
        for(int i=n;i>=1;i--){
            for(int j=i+1;j<=n;j++)a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];
            a[i][n+1]/=a[i][i];
        }
    }
    int main(){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            insert(u,v,w);
            if(u!=v)insert(v,u,w);//
        }
        for(int k=0;k<=30;k++){
            memset(a,0,sizeof(a));// 
            for(int x=1;x<n;x++){
                for(int i=first[x];i;i=e[i].from){
                    if(e[i].w&(1<<k)){
                        a[x][e[i].v]--;// 
                        a[x][n+1]--;
                    }
                    else a[x][e[i].v]++;
                }
                a[x][x]-=out[x];// 
            }
            a[n][n]=1;
            gauss();
            ans+=a[1][n+1]*(1<<k);
        }
        printf("%.3Lf",ans);
        return 0;
    }
    View Code

    注意:

    1.方程组右边是常数项。

    2.自环不要重复加边。

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