【欧几里得算法】辗转相除法
1.被整除数的性质：若c|a,c|b，则c|(ma+nb)
整除数的性质：若a|c,b|c,gcd(a,b)=1，则ab|c。（否则lcm(a,b)|c）
2.gcd的定义
若c|a,c|b，则c为a和b的公因数。当c能被a和b的所有公因数整除时，c是a和b的最大公因数，记为gcd(a,b)。
若c|gcd(a,b)的充要条件是c|a&&c|b。
带余除法：a=bq+r，证明常用。
当gcd(a,b)=1时，称a和b互素。
最小公倍数lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。
3.证明：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
a可以表示成a=k*b+r，其中r=a%b。
假设d|a,d|b，则r=a-k*b，r/d=a/d-k*b/d=m，m为整数，故d|r。
所以若d是a和b的公因数，则d也是b和a%b的公因数。
必要性同理易证。
4.辗转相除法：根据3递归，终止于gcd(a,0)=a。
更相减损术：gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。
感性理解：gcd(a,b)是组成a和b的基本单位，相减或相除都一定不会丢失，直到不能进行为止就是答案。
ll gcd(ll a,ll b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);} ll lcm(ll a,ll b) {return 1ll*a/gcd(a,b)*b;}
另外，gcd可以O(n^2)批量预处理。
5.最大公因数gcd的相关推论
(1)转为互素：gcd(a,b)=d的充要条件是gcd(a/d,b/d)=1
数乘：若gcd(a,b)=d，则gcd(ka,kb)=kd。
(2)gcd乘法：gcd(a1,b2)*gcd(b1,b2)=gcd(a1b1,a1b2,a2b1,a2b2)
(3)消除：若gcd(a,c)=1，则gcd(ab,c)=gcd(b,c)
6.相减树理论：根据更相减损术的推广，若干数字的gcd可以转化为这些数的相减树+任意一个原数字，如gcd(a,b,c,d,e)=gcd(a-b,b-c,c-d,d-e,e)。
感性理解，只要有一个原数就可以通过相减树得到其它所有数字，辗转相除同理，虽然不能还原出原数，但是信息全部继承了。
7.大量gcd求解技巧：设b[x]表示数列中有多少数字是x的倍数，求解b[x]可以O(n ln n)枚举每个数字的倍数或者O(n log n)线性筛后对每个数分解素因数。
序列中公因数有x的子集个数是2^b[x]-1，运用容斥原理即可得到gcd为对应数字的子集个数。
8.容斥：求所有满足是给定的n个数字的倍数的数字的信息，从最大数字m枚举到1，每次将
例题：【SRM20】数学场
9.辗转相除法对于负数：会得到两个数的gcd，但正负不确定。
辗转相除法对于0：会得到另一个原数。
【扩展欧几里德算法】（不定方程,模线性方程）
参考：jumping_frog(扩欧)
刘汝佳《算法竞赛入门经典 第二版》
【基本算法】对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
void gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y) { if(!b){d=a;x=1;y=0;} else{gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);} }
上面求出ax+by=gcd(a,b)的一组解(x1,y1)，任取另外一组解(x2,y2)，令g=gcd(a,b)，则有：
ax1+by1=ax2+by2
a(x1-x2)=b(y2-y1) 两边同除以g
a'(x1-x2)=b'(y2-y1) 此时a'与b'互素，因此(x1-x2)一定是b‘的整数倍
x1-x2=kb' 代入得 y2-y1=ka'
注意上述推导并没有用到ax+by的右边是什么，也就是说只要求出一组解就可以写成任意解，一切都只需要求出一组解。
结论：设a,b,c为任意整数，若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0)，则它的任意整数解都可以写成(x0+kb',y0-ka')，其中a'=a/gcd(a,b)，b'=b/gcd(a,b)，k取任意整数。
所以一定要先求出特解(利用右边)，然后纯粹利用左边求出通解，在下面不定方程的求解中这个顺序尤为重要。
注意：再次强调，扩欧只能用于求解ax+by=gcd(a,b)，特殊地，用于求解a'x+b'y=1(a'与b'互质)。
【应用一：求解不定方程】
(丢番图方程) ax+by=c 求解步骤：
1.求g=gcd(a,b)。
2.若c%g≠0，方程无解。（扩欧只能求解ax+by=gcd(a,b)的整数解，如果整体乘上c/gcd(a,b)后不是整数了就无解，开始先同除g方便操作）
3.方程两边同时除以g，得到a'x+b'y=c'。（此方程完全等价，因为解没有变化）
4.通过扩展欧几里德算法求解a'x+b'y=1的一组解(x0,y0)
5.得到原不定方程的一组解(X=x0*c',Y=y0*c')
6.得到原不定方程通解（X+kb',Y-ka'）注意一正一负
7.得到最小非负整数解：x=((X%b‘)+b’)%b‘ , y=((Y%a’)+a‘)%a’（+a或b转为正数）
PS:x、y可能为0，若要求正解要再次特判+a或+b。
PPS：除以g是为了方便计算，对解没有影响。除以g后扩欧只能计算a'x+b'y=1的方程，这时候解就要乘c/g得到原解。
PPPS：一个问题
｛
求解不定方程时，我们通过ax+by=gcd(a,b)整体扩大c/gcd(a,b)倍来得到方程ax+by=c的解。
对于ax+by=gcd(a,b)，通解是（x0+ka/g,y0-kb/g），所以我之前以为ax+by=c的通解应该由ax+by=gcd(a,b)的每一个解扩大c/gcd(a,b)得到。
换句话说，我以为ax+by=c的通解是（c/g*(x0+ka/g),c/g*(y0-kb/g)），后来发现我错了。
紫书中有句不起眼的话：“注意，上面的推导过程并没有用到“ax+by”的右边是什么”。
所以，ax+by=c的通解同样是（x0+ka/g,y0-kb/g），而（c/g*(x0+ka/g),c/g*(y0-kb/g)）会让通解的数量减少。
那为什么之前会有错误的认识呢？其实（c/g*(x0+ka/g),c/g*(y0-kb/g)）没有包含的那些通解就是除以c/g后不是整数的解。
换句话说，ax+by=gcd(a,b)中的有一些非整数解，扩大c/gcd(a,b)倍后就变成了ax+by=c的整数解。
综上，ax+by=c的通解求法是先求特解（X=x0*c/gcd(a,b),Y=y0*c/gcd(a,b)），后求通解（X+kb'/g,Y-ka'/g）。
｝
//？？？紫书中似乎提到一个扩欧解x0,y0的特性：“x可能为负数，但因为|x|+|y|最小，所以加上n以后一定非负”？？？
【应用二：模线性方程组】
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题外话：
减法取模：(a-b)%n=((a%n)-(b%n)+n)%n 注意加n
大整数取模：自左向右逐个加入，每次乘10后取模。
幂取模：快速幂运算
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目标：给定a,b,n，解方程ax≡b(%n)。
a≡b(%n)的含义是“a和b除以n的余数相同“，其充要条件是”a-b是n的整数倍“。
eg. a mod 3 = 1等价于a≡1(mod 3)等价于a-1=k*3。
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同余性质证明模板：
性质：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。
证明：条件告诉我们，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。于是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。
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同余性质：
1.支持同余数的两边同加减乘幂，对于同余运算来说重要的只有余数部分，无关整的部分。
2.除法：若ac≡bc(%m),c≠0则a≡b(% m/gcd(c,m) )其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数 （简证：g=gcd(c,m)，ac'g-bc'g=k*m'g，约去g，则可得到特殊情况。)
所以，同余符号左右和模数可以同时除以公约数。
特殊地 ,gcd(c,m)=1则a≡b(%m)
{证明：g=gcd(c,m)
ac'g-bc'g=k*m'g，约去g，得到ac'-bc'=k*m'那么得到特殊情况ac≡bc(%m),gcd(c,m)=1。
ac-bc=k*m即(a-b)c=k*m，由于c与m互质，则(a-b)=k*m即a≡b(%m)，得证。
｝
3.若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
若a ≡ b (mod mi) (i=1,2...n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数
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ax≡b(%n)
ax-b=ny即ax-ny=b。令g=gcd(a,n)，方程有解当且仅当g|b。
同除以g，得a'x-n'y=b'。
利用扩欧解a'x-n'y=1，本质上是在解ax≡g(%n)，此时的解距离x0还差b/g倍。
x0=(x*b/g)%n，xi=x0+k*(n/g)。
1.证明方程有一解：当g|b时，x为ax≡g(%n)的解，则x0=(x*b/g)%n为ax0≡b(%n)的一解。
2.证明方程有g个解：一解相当于一个同余等价类，x0等价于所有x%n=x0的解x，这里有g个解是指有g个同余等价类。(我觉得紫书中也是这个意思，但非要用y来说明，令人浮想联翩……)
首先证明xi=x0+k*(n/g)也是方程的解，前已证得x0为ax0≡b(%n)的一解，则：
axi=a(x0+k*n/g)(%n)=ax0+ak*n/g(%n) 由于g|a即a'=a/g，所以axi=ax0(%n)，得证。
然后显然xi至多有g个，k的取值为0~g-1。当k≥g时，k=(g*[k/g]+k%g)，[k/g]*(g*n/g)部分可以约去，则实际上与0~g-1等价。
3.解的间隔显然是n/g。
特别注意：大多数题目要求的解是非负数或正数，而扩欧解出来不一定是！！！
【乘法逆元(a-1)】
逆元详解 by ACdreamer
乘法逆元小结 by Tuesday..
乘法逆元：方程ax≡1(%n)的解称为a关于模n的逆(记得模n)。当gcd(a,n)=1时，该方程有唯一解(同余等价类)；否则，该方程无解。
可以理解为倒数，a*x模n下等于1。在模n意义下，除以a等价于乘a的逆元，即a^(-1)≡a^(φ(n)-1) (%n)。
求逆元的方法：O(log(n))
前提：gcd(a,n)=1即a,n互素。
1.若n为素数(n=p)，则由费马小定理a^(p-1)≡1(%p)得x=a^(p-2)%p。
2.若n不为素数，则由欧拉定理a^φ(n)≡1(%n)的x=a^(φ(n)-1)%n。
3.前两种方法需要快速幂运算，为了方便也可以直接用扩欧解ax-ny=1得到的解x即为逆元。
5.对于x=a!/b!(%p),b!|a!，若gcd(b!,p)>1，可以使用中国剩余定理求解（不会爆数据），过程见下面“中国剩余定理”。
ll inv(ll a,ll n) { ll d,x,y; gcd(a,n,d,x,y); //return d==1?(x+n)%n:-1; return (x%n+n)%n; }
<线性求1~n的乘法逆元及其应用>
乘法逆元函数inv(x)是完全积性函数，即inv(xy)=inv(x)*inv(y)或(xy)^(-1)=x^(-1)*y^(-1) (%p)。
过程：
1.过程中所有数都mod p，实际上在模运算中只要不涉及除法都可以模。
2.首先求出1!,2!,...,n!的值并记录，然后求出n!的逆元。
由与逆元是积性函数，有：
(n!)^(-1)=(n-1)!^(-1)*n^(-1)，移项得
( (n!)^(-1) )/( n^(-1) ) = (n-1)! ^ (-1)
根据除以一个数等价于乘以这个数的逆元
(n!)^(-1)*n=(n-1)^(-1)
从而逆向求出1!,2!,...,n!的逆元。
3.接下来利用阶乘的逆求出每个数的逆。
( (n-1)! ^ (-1) ) * n ^ (-1) = (n!) ^ (-1) 移项得
n ^ (-1) = ( (n!) ^ (-1) ) / ( (n-1)! ^ (-1) )
根据除以一个数等价于乘以这个数的逆元
n^(-1)=(n!)^(-1)*(n-1)!
注意，两次变换都是根据(n!)^(-1)=(n-1)!^(-1)*n^(-1)【(n!)-1=((n-1)!)-1*(n)-1】进行的(不同的数字除过去)，这基于乘法逆元是积性函数。
void gcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0){x=1;y=0;} else{gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);} } void pre_inv() { fac[0]=fac[1]=1; for(int i=2;i<p;i++)fac[i]=(fac[i-1]*i)%p; int xx,yy; gcd(fac[p-1],p,xx,yy); inv[p-1]=((xx%p)+p)%p;//扩欧解不一定是最小非负解！ for(int i=p-2;i>=0;i--)inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p; }
【欧拉函数(phi)】
参考：欧拉函数 by handsomecui
欧拉函数求法与应用 by sentimental_dog
1.定义欧拉函数φ(n)表示1~n中与n互素的数的个数。
φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有素因子
欧拉函数数列：1 1 2 2 4 2
公式的简单理解：对于每个素因子pi，x范围内pi的倍数有x/pi个，即不含pi的有x*(1-1/pi)，连乘起来即可。
2.性质：
(1)对于质数p，φ(p)=p-1，φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。(p^(k-1)个p）
(2)欧拉函数是不完全积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
3.公式：n=∑d|nφ(d)
证明：考虑n的所有数字x∈[1,n]，有(n,x)=d即(n/d,x/d)=1，所以满足(n,x)=d的所有的x的个数为φ(n/d)，那么所有n的因子的φ就是答案。
4.公式：1~n中与n互质的整数和是为( n*φ(n)+[n=1] )/2，证明：gcd(n,i)=gcd(n,n-i)，所以互素数总是成对出现。（但约数和不是n*(n+1)/2-n*φ(n)/2+1……）。
5.求Σgcd(i,n),i=1~n
解：设g(i)=gcd(i,n)，显然g(i)是积性函数。积性函数得前缀和也是积性函数，所以f(n)=Σgcd(i,n),i=1~n也是积性函数，由唯一分解定理：
f(n)=f(p1^a1)*...*f(pk^ak)
又因为f(n)=Σd|nφ(d)*n/d（参考n=∑d|nφ(d)的证明，所有φ(d)的gcd是n/d）
所以f(p^k)=p^k+(p-1)p^0 * p^(k-1) + (p-1)p^1 * p^(k-2) + ... + (p-1)p^(k-1) * p^0=(p-1)*p^(k-1)*k+p^k
int get_phi(int n) { //phi(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)...*(1-1/pk) int m=(int)sqrt(n+0.5); int ans=n; for(int i=2;i<=m;i++) if(n%i==0) { ans=ans/i*(i-1);//在允许的情况下，先除后乘避免爆范围 while(n%i==0)n/=i; } if(n>1)ans=ans/n*(n-1); return ans; }
【欧拉定理&费马小定理】
欧拉定理：a,n为正整数且互素，a^φ(n)≡1(%n)
费马小定理：p为素数，a^(p-1)≡1(%p)
★重要应用：简化幂的模运算 a^b=a^(b%φ(p)) mod p
例如: 计算 7^222的个位数，实际上是求7^222被10除的余数。
且7与10互质，φ(10)=1，由欧拉定理知7^4= 1mod 10
故7^222=(7^4)^55*(7^2)=>(1^55)*(7^2)=>49=>9 mod 10
【欧拉线性筛】
引用自：贾志鹏线性筛
只要一个函数满足三个条件就可以线性筛：
1.p是素数，O(1)求f(p)。
2.f(i)是积性函数
3.f(i*prime[j])可以用f(i)和prime[j]快速算出，其中prime[j]是i的最小素因子。
<素数筛>
本质：每个数字只被最小的素数筛去，把每个数字分解为[素数*倍数]即[prime[j]*i]，其中prime[j]为最小素数。
枚举i=1~n，每次选择比i小的素数组合为合数筛选。
if(i%prime[j]==0)break;如果当前素数已经能整除i，则这个倍数i中有质因数prime[j]，之后筛的prime[j+1]*i这个数字的最小素数是prime[j]，所以后面一定会被prime[j]乘一个倍数筛掉，此时筛就没有必要。
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> const int maxsize=1000010; int n,prime[maxsize],tot; bool mark[maxsize]; int main() { scanf("%d",&n); memset(mark,0,sizeof(mark)); tot=0; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!mark[i])prime[++tot]=i; for(int j=1;j<=tot;j++) { if(i*prime[j]>n)break; mark[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0)break; } } printf("tot=%d ",tot); for(int i=1;i<tot;i++)printf("%d ",prime[i]); printf("%d ",prime[tot]); return 0; }
找一个数字的所有质因数：记录每个数字的最小素数，然后对目标不断除最小素数就可以得到所有质因数。
线性筛求每个数的每个质因数可以用上面的方法，也可以枚举素数的方数的倍数。下面的方法复杂度也差不多。
遍历每个数字的每个质因数：c[i]记录数字i剩余数字，对每个数字i找其所有倍数j的c[j]除以c[i]（c[i]=1就不执行），这样会自然的使用所有素数方数筛选，只不过多一些不影响复杂度的枚举，大概可以跑1千万。
<积性函数>
积性函数：对于所有互质的正整数a和b有f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
完全积性函数：对于所有正整数a和b有f(ab)=f(a)f(b)的数论函数
f(1)=1
1.性质一：对于n=∏pi^ki，有f(n)=∏f(pi^ki)
2.性质二：对于完全积性函数，还有f(n)=∏f(pi)^ki以及f(n^k)=f(n)^k
3.常见积性函数：欧拉函数，莫比乌斯函数，乘法逆元函数等。
4.积性函数的约数和、前缀和也是积性函数。
<欧拉函数>
线性筛欧拉函数本质上是因为欧拉函数是积性函数(但不是完全积性函数)。
欧拉函数是积性函数的原因可以从公式上显然看出。
欧拉函数：φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x的所有质因数
筛选过程和素数筛十分相似，因为本质上都是根据唯一分解定理，一个数由其最小的素数筛掉，只是过程中顺便求phi。
1.若i为素数，phi[i]=i-1。
2.若i%prime[j]==0，则i中有prime[j]，那么phi[i*prime[j]]中有的素数phi[i]都有，差的只是最前面乘的数字多个prime[j]，即phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]。然后和素数筛一样退出。
3.若i%prime!=0，则i中没有prime[j]，那么phi[i*prime[j]]中缺少prime[j]，最前面乘的数字多个prime[j]，那么就是乘上(prime[j]-1)/prime[j]和prime[j]，约分得phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1)。
void pre_phi(int x) { phi[1]=1;int tot=0; memset(mark,0,sizeof(mark)); for(int i=2;i<=x;i++) { if(!mark[i]) { prime[++tot]=i; phi[i]=i-1; } for(int j=1;j<=tot;j++) { if(i*prime[j]>x)break; mark[i*prime[j]]=1;//筛 if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;} else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); } } }
<莫比乌斯函数>
1.μ(1)=1。
2.x含有奇数个素因子，μ(x)=-1。
3.x含有重复素因子，μ(x)=0。
4.x含有偶数个素因子，μ(x)=1。
显然，μ函数是积性函数，那么根据μ(1)=1和μ(p)=-1（p为素数），可以筛出所有莫比乌斯函数。
另有埃式筛法，μ(x)是其所有因子的μ和取反。
例题：【CodeForces】585 E. Present for Vitalik the Philatelist
<最小素因子幂次>
1.p，d=1
2.i%prime[j]，d=1
3.i%prime[j]==0，d=d[i]+1
<约数个数>
1.p，e=2
2.i%prime[j]，e=e[i]*e[prime[j]]=e[i]*2
3.i%prime[j]==0，e=e[i]/(d[i]+1)*(d[i]+2)
<约数和>
1.p，f=i+1
2.i%prime[j]，f=f[i]*f[prime[j]]
3.i%prime[j]==0，f=f[i]+f[i/mi[i]]*mi[i]*prime[j]
【中国剩余定理(CRT)】
引用自：孙子定理_百度百科
由于公式较多，就直接贴图片了。
详细过程看百科，只要顺序看下来就能理解了，下面的过程是从那里简化的。
中国剩余定理实际上实在求解一元同余方程组(S)
<中国剩余定理的通解>
当m1...mn两两互质时有解，通解可以采用构造法获得。
注意此时逆元必定只针对模mi意义下成立（mi之间两两互质）
方程组(S)的通解形式为：
★在模M意义下只有唯一解：
<证明>
由以上两条就很容易看出构造法的神奇了，在%mi意义下，ti*Mi=1（gcd(Mi,mi)=1），而其它ajtjMj由于模数互质无法变1，又因为Mj中含mi而约去，最终剩下ai。
由于mi两两互质，显然下一个解间隔为M，故得证。
★重要应用：处理非互素逆元
【BZOJ】2142 礼物 CRT
【排列组合】
具体内容见计数问题——onion_cyc。
<二项式定理>
观察杨辉三角可以发现，它的第i行的数字是C(i-1,0),C(i-1,1)...C(i-1,i-1)，即同一行同下标，上标从0开始递增。
由杨辉三角也可以发现组合数的两大核心性质（同行左右对称，每个数等于上面和上面左边两数之和）。
另一方面，把(a+b)^n展开的多项式系数和杨辉三角一致，由此可得
★二项式定理：
其中组合数对应杨辉三角也对应系数，后边对应项的内容。
也可以理解为n个括号，多少个选a，多少个选b出来的结果。
而求解系数可以使用组合数性质4。
【组合数取模】lucas定理
引用自：lucas_百度百科(证明)
组合数取模 by ACdreamers
证明过程见百度百科，大概是根据二项式定理左右变换后展开推导。
★Lucas定理：C(n,m)=C(n%p,m%p)*C(n/p,m/p) mod p 对于C(n/p,m/p)递归处理。
注意p应是素数。
定理的本质是把n和m看成p进制数，对于C(n,m)%p，如果
则有
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int p=10007; int fac[p+10],inv[p+10]; void gcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0){x=1;y=0;} else{gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);} } void pre_inv() { fac[0]=fac[1]=1; for(int i=2;i<p;i++)fac[i]=(fac[i-1]*i)%p; int xx,yy; gcd(fac[p-1],p,xx,yy); inv[p-1]=((xx%p)+p)%p;//扩欧解不一定是最小非负解！ for(int i=p-2;i>=0;i--)inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p; } int C(int n,int m) { if(n<m)return 0; if(n<p&&m<p)return (1ll*fac[n]*inv[m]*inv[n-m])%p; return (C(n%p,m%p)*C(n/p,m/p))%p; } int main() { pre_inv(); int T,n,m; scanf("%d",&T); //for(int i=0;i<10;i++)printf("inv_%d=%d ",i,inv[i]); while(T--) { scanf("%d%d",&n,&m); printf("%d ",C(n,m)); } return 0; } BZOJ 2982
简单总结：
1.模数为素数：lucas
模数分解后无平方因子，直接分开计算素模数lucas后用CRT合并。
2.模数为素数平方：扩展lucas
模数分解后有平方因子，分成若干p^k后提取上下的因子p抵消后快速幂加回。
这种算法称为扩展lucas，再用CRT合并。
lucas的复杂度瓶颈都是模数范围的阶乘预处理，即O(min(n,p))，p是分解后的模数。所以一般用于n太大而p不大的情况。
3.例题：【BZOJ】1485: [HNOI2009]有趣的数列
这题求组合数，p较大且不一定是素数，n较小。
采用的方法是对每个数字分解素因数，统计每个素因子最终的出现次数，分子+分母-，最后直接模p。
有点厉害……
【素数测试】Miller-Rabin算法
引用自：数论部分第一节：素数与素性测试 by Matrix67
当p为素数时，根据费马小定理，有$a^{p-1}=1(\%p)$。
根据Miller-Rabin测试原理，当$x^2=1(\%p)$时，有$x=n-1||x=1$,因为x^2-1=(x+1)(x-1)。
也就是可以提取指数中的因子2，则当$a^{2k}=1(\%p)$时，需要满足$a^k=1(\%p)$或$a^k=p-1(\%p)$。
探测过程：选择一个底数px，分解$n-1=d*2^k$，初始为d每次乘2到n-1为止，每次进行Miller-Rabin测试，最后进行Fermat测试。
底数2,7,61即可探测出所有int范围内的素数。
需要特别注意，选为底数的数字要特判。（2,7,61）
#include<cstdio> const int px[]={2,7,61}; int power(int x,int k,int m){ int ans=1; while(k){ if(k&1)ans=1ll*ans*x%m; x=1ll*x*x%m; k>>=1; } return ans; } bool prime(int n){ for(int i=0;i<=2;i++){ if(px[i]==n)return 1;//!!! int x=n-1; while(!(x&1))x>>=1; int now=power(px[i],x,n),last; while(x<n-1){ last=now;now=1ll*now*now%n;x<<=1; if(now==1&&last!=1&&last!=n-1)return 0;//Miller-Rabin } if(now!=1)return 0;//fermat } return 1; } int main(){ int p;scanf("%d",&p); printf("isprime=%d ",prime(p)); return 0; }
【扩展欧拉定理】
直接看：【CodeForces】906 D. Power Tower 扩展欧拉定理
【莫比乌斯反演】解决因子或素因数个数有关的问题
参考：莫比乌斯反演课件 by PoPoQQQ
★概念：对于函数F(n)=Σd|nf(d)（即满足积性函数），根据莫比乌斯反演定理，可得f(n)=Σd|nμ(d)*F(n/d)或f(n)=Σn|dμ(d/n)*F(d)。（若F(n)可以表示成所有因子f值的和，f值就可以通过F反演得到）
定义：μ(d)为莫比乌斯函数，定义如下：（本质上是一个关于因子的容斥系数函数）
(1) d=1,μ(d)=1
(2) d含重复素因子，μ(d)=0
(3) 否则，设素因子个数为k，μ(d)=(-1)^k
性质：对于任意正整数n，有：
n=1，Σd|nμ(d)=1
n>1，Σd|nμ(d)=0
证明：将n唯一分解，则μ≠0的只有次数为1的因子，组合数带入二项式定理得证（详见课件）。
性质：莫比乌斯函数是非完全积性函数，可以用欧拉线性筛求解。f(1)=1，积性函数的前缀和也是积性函数
莫比乌斯函数可以用于和因子或素因数个数有关的容斥题目。
反演定理形式1：对于函数F(n)=Σd|nf(d)，可得f(n)=Σd|nμ(d)*F(n/d)。
证明：
1.f(n)=Σd|nμ(d)*F(n/d)
2.=Σd|nμ(d)*Σk|(n/d)f(k)（由函数F(n)=Σd|nf(d)得到）
3.=Σk|nf(k)*Σd|(n/k)μ(d)
解释：已知k|n，求满足d|n,k|(n/d)的d。
k*x=n/d即k*x*d=n，由k|n得x*d=n/k即d|(n/k)
4.=f(n)（由前面的性质只有k=n时Σd|(n/k)μ(d)结果为1）
反演定理形式2：对于函数F(n)=Σn|df(d)，可得f(n)=Σn|dμ(d/n)*F(d)
证明同理，第三步如下：
已知n|k，求满足n|d,d|k的d。
n*x=d d*y=k，两式相乘得n*x*y=k，又n|k，所以x*y=k/n。
由一式x=d/n，代入得y*d/n=k/n即(d/n)|(k/n)，故得证。
应用：
1.容斥原理：和素因子个数有关容斥。
例题：【BZOJ】2440: [中山市选2011]完全平方数
2.数对问题
①令f[x]表示满足给定条件的gcd(a,b)=x的数对个数，F[x]表示满足给定条件的满足 x | gcd(a,b) 的数对个数，则F[x]=Σx|df(d)。
易得F[x]=(n/x)*(m/x)，那么根据莫比乌斯反演定理，f(x)=Σx|dμ(d/n)*F(d)=Σx|dμ(d/n)*(n/d)*(m/d)。
f(x)=Σx|d μ(d/n) * (n/d) * (m/d)，最后由gcd(a,b)=x等价于gcd(a/x,b/x)=1，令n/=x,m/=x就可以对f(1)进行取值分块优化。
②对于gcd(a,b)=x的数对个数，由[gcd(i,j)=1] <=> Σd|i^d|j μ(d)，可得
f(x)=Σd<=mins μ(d)*(n/xd)*(m/xd)，mins=min(n/x,m/x)，可以直接进行取值分块优化。
例题：
（1）【BZOJ】2301: [HAOI2011]Problem b 由Σd|n得到Σt=1~N/d从而分块取值优化
（2）【BZOJ】2820: YY的GCD 多组询问，交换两个Σ的顺序，前面√n回答询问，后面预处理前缀和。
（3）【BZOJ】3529: [Sdoi2014]数表 多组询问，交换Σ，前面√n回答询问，后面预处理前缀和。
（4）【BZOJ】2154: Crash的数字表格 推出前后两次分块取值优化
（5）【BZOJ】2693: jzptab 多组询问，合并前两个Σ，前面√n回答询问，后面预处理前缀和。
公式推导常用技巧：
1.“Σ”的移动与合并。
//2.Σi=1~nΣj=1~i (i,j) <==> [ Σi=1~nΣj=1~n (i,j)+Σi=1~n (i,i) ] /2
3.由Σd|n得到Σt=1~N/d从而分块取值优化
//4.n/a/b <=> n/ab，分块取值优化
5.Σi=1~nΣj=1~m (i,j) <=> Σx=1~nmΣd|x (d,x/d)
6.上界为n，实际只有√n
7.[gcd(i,j)=1] <=> Σd|i^d|j μ(d)
8.f,F可以简单定义为满足指定条件了的数对，第二步反演可以变成，f(x)=Σx|dμ(d/n)*F(d)，令i=d/n，f(x)=Σi=1~x/dμ(i)*F(in)。
9.Σd|nμ(d)/d=φ(n)/n
【补充知识】
1.高斯函数（下取整函数）至多有2*√n个取值，即f(i)=[n/i]。
2.调和级数：1+1/2+1/3+...+1/n，数量级为ln n。
3.约数相关：
数字n的约数个数：num=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)
1~n中所有数的约数个数和num=[n/1]+[n/2]+...+[n/n]，数量级为n ln n，计算O(√n)（见1）。
数字n的约数和约数和：√n
1~n中所有数的约数和num= i * (n/i+1)*(n/i)/2。（O(√n)）（枚举约数贡献等差数列）
约数有对应关系，d1*dk=d2*d(k-1)=...=n
互素数有对应关系，gcd(i,n)=gcd(n-i,n)
4.两个相邻奇数互素
5. 满足x%a&&x%b的数字和满足x%ab的数字一一对应