【算法专题】后缀自动机SAM

后缀自动机是用于识别子串的自动机。

学习推荐：陈立杰讲稿，本文记录重点部分和感性理解（论文语言比较严格）。

刷题推荐：[后缀自动机初探]，题目都来自BZOJ。

【Right集合】

后缀自动机真正优于后缀树的方面在于：结合了有限状态自动机，从而实现了O(n)的时空复杂度。

trans(s,str)表示s+str到达的状态。

ST(str)=trans(init,str)即包括了str这一子串的唯一状态（一个子串只能属于一个状态）

定义字符串a在S中出现的右端点位置集合Right(a)=r₁,r₂...r_n。

SAM中一个状态s的Right集合为Right(s)，那么状态s表示所有[Right(a)=Right(s)的子串a]，那么实际上状态s表示的子串a的长度在一个区间内，记作[Min(s),Max(s)]。字符串越短，Right集合越大。

容易证明对于任意状态a和b，Right(a)和Right(b)要么包含要么不相交。（很显然的结论，只是论文的证明比较严格化）

★在后缀自动机中，一个状态s（或称“节点s”）表示的是Right(a)=Right(s)的若干子串a，其长度区间为[MIn(s),Max(s)]，从而达到状态数O(n)的目的。

Right集合形成的树形包含关系称为Parent Tree，树边由孩子指向父亲，是SAM中的失配边。

Parent树从上往下，子串长度扩大，Right集合变小，父节点的Right集合包含子节点的Right集合。

fa=Parent(s)当且仅当fa是使Right(fa)最小且满足Right(s)⊂Right(fa)的结点，（从儿子到父亲，就是子串稍微缩短，Right集合变大）

另有Max(fa)=Min(s)-1，实质上是要求fa和s之间没有一个Right子集x满足Right(s)⊊Right(x)⊊Right(fa)。

【线性构造SAM】

线性构造采用增量法，即已知字符串T的SAM(T)，L=Len(T)，在末尾加入字符x，构造SAM(Tx)，转移如下：

①实边转移规则：t=trans(s,x)表示s--->t标号为x的边，若Right(s)={r1,r2...rn}，则Right(t)={r_i+1|s[r_i+1]=x}。

②虚边转移规则：Parent树边满足Right(s)⊊Right(fa)，Max(fa)=Min(s)-1（含义如上所述）

加入x，考虑所有Right集合包含L的结点v1,v2...vk，显然它们在Parent树上是一条从根到叶子的链。

定义叶子结点v1=p=ST(T)（即p代表整个串），Right(p)={L}，不妨它们从后代到祖先排为v1=p...vk=root。

同时新建结点np=ST(Tx)，Right(np)={L+1}。

考虑节点v，Right(v)={r1,r2...rn=L}

根据转移规则①，如果除了rn外不存在S[ri+1]=x，那么节点v不存在trans(v,x)。

根据转移规则②，越往上Right集合逐渐扩大直至节点vp存在trans(vp,x)，那么v₁~v_p-1只须向np连出标号为x的边（np=trans(v,x)），而vp~vk都已经存在trans(v,x)。

令trans(vp,x)=q，当Max(q)=Max(vp)+1时，只须在q的Right集合中插入L+1。

下面重点讨论Max(q)>Max(vp)+1的情况。

eg.

T+x：aaabcaaabcaa+b

vp：aaabcaaabcaa　　Max(vp)=2

q：aaabcaaabcaa　 　Max(q)=4

根据实边的转移规则，实际上节点q不止由vp转移过来，也由vp在Parent树上的儿子o转移过来（多条实边连入）：

o：aaabcaaabcaa　　Max(o)=3

可见，o才满足Max(q)=Max(o)+1。trans(vp,b)形成了aab，而trans(o,b)形成了aaab，由于有限状态自动机的性质Right(aab)=Right(aaab)所以合并成同一个点p。

但是当末尾+b时，我们发现Right(aab)>Right(aaab)也就是出现了新的Right集合aab——Right(aab)=Right(q)+Right(np)，所以创造新的节点nq：

nq：aaabcaaabcaab　　Max(nq)=3

Right(nq)实际上是Right(q)和Right(parent(q))夹出来的新Right集合（aab之前被并入q现在分离出来），并且vp将改为连向nq。

vp的祖先中连向q的部分要改为连向nq，因为这些点连向q说明+x后Right集合=Right(q)，那么现在就要连向nq。

线性构造SAM的具体步骤如下：

1.新建np，找到vp，vp之前的点连向np。若不存在vp则fa(np)=-1。

2.若len(q)=len(vp)+1，fa(np)=q，结束。

3.len(q)>len(vp)+1，新建节点nq复制q信息并修改len。

4.从vp到根若连向q改为nq。

void insert_SAM(int c){
    int np=++size;
    t[np].len=t[last].len+1;
    int x=last;
    last=np;
    while(x&&!t[x].t[c])t[x].t[c]=np,x=t[x].fa;
    if(!x)t[np].fa=root;else{
        int y=t[x].t[c];
        if(t[y].len==t[x].len+1)t[np].fa=y;else{
            int nq=++size;
            t[nq]=t[y];//
            t[nq].len=t[x].len+1;
            t[nq].fa=t[y].fa;t[y].fa=t[np].fa=nq;
            while(x&&t[x].t[c]==y)t[x].t[c]=nq,x=t[x].fa;//
        }
    }
}

last=size=root=1;
for(int i=1;i<=m;i++)insert_SAM(s[i]-'a');

注意：后缀自动机节点数是2n。

【技巧和应用】

后缀自动机没有高论，本质上仅仅是识别子串的自动机，为了压缩时空复杂度将Right集合相同的子串集合作为一个节点，然后构造自动机的一般属性：trans边（实边）和fail边（虚边）。

1.节点的本质：每个节点是Right集合，是Right集合相同的子串集合。

2.实边：后接字符。

从x的某个子串后面+一个字母，能够得到y的某个子串。（所以从根沿子串走能得到子串所在节点）

3.虚边：前删字符。（匹配失败fail）

删除最少的字符使得Right集合变化。故该串在Parent树上的祖先都是该串的后缀。

1.Right集合：SAM中每个节点是right集合。

每次的np称为“关键节点”，这个节点的最长字符串是以该Right点结尾的前缀。（它最终不一定是叶子）。

Right集合大小：np值为1，按Parent树建边进行dfs统计即可。Right集合大小就是每个状态代表串的出现次数。

例题：【BZOJ】3998: [TJOI2015]弦论

统计Right集合具体的话可以用线段树合并或set启发式合并。

（实边：每个节点x连出实边y相当于在串s(x)后+x到达另一个节点（right尽可能大），这个到达的节点串的前面可能会延伸。

每一条从根到节点的路径都是一个子串对应的状态。虚边：连接右端点位置相同而长度不同子串，该串在Parent树上的祖先都是该串的后缀，这就可以用来作为fail树。）

4.匹配：一个串从自动机根节点往下沿实边走并cnt++，不能走就沿虚边fail至能继续走的点y（cnt=len(y)+1)，然后往下走。因为Parent的父亲一定是后缀，这样能识别出这个串和SAM的以每个位置结尾的最长公共子串的节点。这些识别点在Parent树上的所有祖先节点合起来就是所有公共子串。

例题：【BZOJ】4032: [HEOI2015]最短不公共子串（LibreOJ #2123）

5.后缀树：对逆序串建立SAM，parent树就是原串的后缀树，后缀的LCP就是后缀树上两个np的LCA。

例题：【BZOJ】3238: [Ahoi2013]差异

6.找到指定串节点：在Parent上从对应右端点位置的“前缀开端节点”倍增到Len合适的位置。

例题：【BZOJ】3676: [Apio2014]回文串

7..子串数：对每个点x，Max(x)-Max(fa(x))得到的就是该点的长度区间即子串数，所有点的子串数就是子串总数。