【BZOJ】1492: [NOI2007]货币兑换Cash

【题意】初始资金s，有两种金券A和B，第i天，买入时将投入的资金购买比例为rate[i]的两种股票，卖出时将持有的一定比例的两种股票卖出，第i天股票价格为A[i],B[i]，求最大获利。n<=100000。

【算法】动态规划+斜率优化（CDQ分治）

【题解】为了最大获利，每次交易一定是全部买进和全部卖出。

令s[i]表示前i天的最大获利，f[i]表示第i天能购买的最多A股数，g[i]=f[i]/rate[i]表示第i天能购买的最多B股数。

s[i]=max{ s[i-1] , f[j]*A[i]+g[j]*B[i] }，j<i。

g[i]=s[i]/(A[i]*rate[i]+B[i])

f[i]=g[i]*rate[i]

对于决策j和k，假设f[j]<f[k]，当k优于j时有：

f[j]*A[i]+g[j]*B[i]<f[k]*A[i]+g[k]*B[i]

移向得(g[j]-g[k])/(f[j]-f[k])>-A[i]/B[i]，令k[i]=-A[i]/B[i]，所以：

对于满足f[j]<f[k]的决策j和k，满足(g[j]-g[k])/(f[j]-f[k])>k[i]时决策k优于决策j。

然后用CDQ分治维护动态上凸包，按阶段分治，左子区间按x[]排序构造凸包，右子区间按k[]排序顺序决策。

具体过程见：CDQ分治优化动态规划

复杂度O(n log n)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100010;
const double eps=1e-10,inf=1000000000000;
double s[maxn];
int n,st[maxn];
struct cyc{int id;double A,B,r,k,x,y;}a[maxn],b[maxn];
bool cmp(cyc a,cyc b){return a.k>b.k;}
double k(int A,int B){
    if(fabs(a[A].x-a[B].x)<eps){if(a[B].y<a[A].y)return -inf;else return inf;}
    return (a[A].y-a[B].y)/(a[A].x-a[B].x);
}    
void CDQ(int l,int r){
    if(l==r){
        s[l]=max(s[l],s[l-1]);
        a[l].y=s[l]/(a[l].A*a[l].r+a[l].B);
        a[l].x=a[l].y*a[l].r;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    int x1=l-1,x2=mid;
    for(int i=l;i<=r;i++)if(a[i].id<=mid)b[++x1]=a[i];else b[++x2]=a[i];
    for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=b[i];
    CDQ(l,mid);
    int top=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++){
        while(top>1&&k(st[top],i)>k(st[top-1],st[top]))top--;
        st[++top]=i;
    }
    int x=1;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(x<top&&k(st[x],st[x+1])>a[i].k)x++;
        s[a[i].id]=max(s[a[i].id],a[st[x]].x*a[i].A+a[st[x]].y*a[i].B);
    }
    CDQ(mid+1,r);
    x1=l,x2=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(x1>mid)b[i]=a[x2++];else
        if(x2>r)b[i]=a[x1++];else
        if(a[x1].x<a[x2].x)b[i]=a[x1++];else b[i]=a[x2++];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=b[i];
}
int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&s[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i].id=i;
        scanf("%lf%lf%lf",&a[i].A,&a[i].B,&a[i].r);
        a[i].k=-a[i].A/a[i].B;
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    CDQ(1,n);
    printf("%.3lf",s[n]);
    return 0;
}