【CodeForces】913 D. Too Easy Problems

【题目】D. Too Easy Problems

【题意】给定n个问题和总时限T，每个问题给定时间ti和限制ai，当解决的问题数k<=ai时问题有效，求在时限T内选择一些问题解决的最大有效问题数。n<=2*10^5，T<=10^9。

【算法】贪心（排序+堆）

【题解】因为T太大，不能考虑背包。

容易发现k越小越能使更多问题有效，所以一定有最优方案的所有问题均有效。

当k唯一确定时，其实就是在所有ai>=k的问题中选取时间最少的几个解决。

当k减小时，选择的范围扩大，就可以选择一些时间更少的替换掉已选问题中时间最长的，这显然可以用堆维护。

所以得到做法——按k从大到小排序，然后依次扫描，维护一个时间大顶堆，每次：

1.若当前k>size（堆大小），弹出堆顶至size=k。

2.若堆中可以直接加入当前问题（k<size和满足时限），则直接加入。

3.否则考虑是否可以替换堆顶，可以则替换。

每次统计答案，找到最大值。

观察三个操作，容易发现当出现k>size的情况后，答案不可能再变大，也就是答案是一个凸函数，顶点出现在k>size时。

所以只需要再k>size输出当前堆中元素即是答案。

复杂度O(n log n)。

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read(){
    char c;int s=0,t=1;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-1;
    do{s=s*10+c-'0';}while(isdigit(c=getchar()));
    return s*t;
}
const int inf=0x3f3f3f3f,maxn=200010;
int n;
struct cyc{
    int k,t,id;
}a[maxn];
struct node{
    int id,t;
    bool operator < (const node &a)const{
        return t<a.t;
    }
};
priority_queue<node>Q;
bool cmp(cyc a,cyc b){return a.k>b.k;}
int T;
int main(){
    n=read();T=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i].k=read(),a[i].t=read(),a[i].id=i;
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    int size=0,time=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(size>a[i].k){printf("%d
%d
",size,size);while(!Q.empty())printf("%d ",Q.top().id),Q.pop();return 0;}
        if(size<a[i].k&&time+a[i].t<=T)Q.push((node){a[i].id,a[i].t}),size++,time+=a[i].t;
        else if(!Q.empty()&&a[i].t<Q.top().t){time-=Q.top().t;Q.pop();Q.push((node){a[i].id,a[i].t});time+=a[i].t;}
    }
    printf("%d
%d
",size,size);while(!Q.empty())printf("%d ",Q.top().id),Q.pop();return 0;
}