【CodeForces】827 D. Best Edge Weight 最小生成树+倍增LCA+并查集

【题目】D. Best Edge Weight

【题意】给定n个点m条边的带边权无向连通图，对每条边求最大边权，满足其他边权不变的前提下图的任意最小生成树都经过它。n,m<=2*10^5，1<=wi<=10^9。

【算法】最小生成树+倍增LCA+并查集

【题解】首先求出图的一个最小生成树M，则所有边分成树边和非树边。

一、对于非树边(u,v)，假设u和v在最小生成树M上的路径的最大边权是Max。要保证这条边在最小生成树上，只要w(u,v)=Max-1。

下面证明w(u,v)=Max-1时，一定在任意最小生成树上。

证明：假设另一个最小生成树OM不包含(u,v)，那么u和v在最小生成树OM上的路径的所有边权<=Max-1，按照kruscal算法从小到大加边的情况，(u,v)一定会被最小生成树OM首先连通，故M不是最小生成树，矛盾。

二、对于树边(u,v)，假设所有在最小生成树M上的路径经过它的非树边的最小边权是Min。要保证这条边在最小生成树M上（不会被替换），只要w(u,v)=Min-1。

证明：如果(u,v)已经是所有它所在的环中的最小边，那么一定会先被连通。

最后，我们需要解决问题是：找到一个最小生成树，对于每条非树边找到路径最大值，然后给路径贡献最小值标记，最后统计树边的答案。

这用树链剖分+线段树是很容易实现的，还可以用线段树合并(权值)，不过最简便的是倍增+并查集。

倍增：记录路径最大值，即可回答第一个询问。

并查集：非树边从小到大排序后依次处理，标记到的边就是最小值了，处理完后用并查集并起来以后不再处理（初始fa[i]=i），即每个点的父亲指向祖先中最近的未处理点(边)，类似安全路经Travel。

注意先kruscal后按照生成树边来dfs建树。答案可能有0。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=200010;
struct edge{int id,u,v,w,from;}e[maxn*2],ed[maxn*2];
int n,m,first[maxn],tot,f[maxn][21],g[maxn][21],deep[maxn],fa[maxn],a[maxn],E[maxn],ans[maxn];
void insert(int u,int v,int w,int id){tot++;e[tot].id=id;e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
bool cmp(edge a,edge b){return a.w<b.w||(a.w==b.w&&a.id<b.id);}
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void dfs(int x,int fa){
    for(int i=1;(1<<i)<=deep[x];i++){
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
        g[x][i]=max(g[x][i-1],g[f[x][i-1]][i-1]);
    }
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa&&a[e[i].id]){
        deep[e[i].v]=deep[x]+1;
        f[e[i].v][0]=x;
        g[e[i].v][0]=e[i].w;
        E[e[i].v]=e[i].id;
        dfs(e[i].v,x);
    }
}
int lca(int x,int y){
    if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
    int ans=0,d=deep[x]-deep[y];
    for(int i=0;i<=20;i++)if(d&(1<<i))ans=max(ans,g[x][i]),x=f[x][i];
    if(x==y)return ans;
    for(int i=20;i>=0;i--)if((1<<i)<=deep[x]&&f[x][i]!=f[y][i]){
        ans=max(ans,max(g[x][i],g[y][i]));
        x=f[x][i];y=f[y][i];
    }
    return max(ans,max(g[x][0],g[y][0]));
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&ed[i].u,&ed[i].v,&ed[i].w);//
        ed[i].id=i;
    }
    sort(ed+1,ed+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=find(ed[i].u),y=find(ed[i].v);
        if(x!=y){a[ed[i].id]=1;fa[x]=y;}
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)insert(ed[i].u,ed[i].v,ed[i].w,ed[i].id),insert(ed[i].v,ed[i].u,ed[i].w,ed[i].id);
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    memset(ans,-1,sizeof(ans));//
    for(int i=1;i<=m;i++)if(!a[ed[i].id]){
        int x=find(ed[i].u),y=find(ed[i].v);
        ans[ed[i].id]=lca(ed[i].u,ed[i].v)-1;
        while(x!=y){
            if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
            ans[E[x]]=ed[i].w-1;
            x=fa[x]=find(f[x][0]);//
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}