AtCoder Beginner Contest 206 E

题目描述

求区间([L, R])中， 满足：

• (L le x, y le R)
• (gcd(x, y) e 1, dfrac{x}{g} e 1, dfrac{y}{g} e 1)

的 ((x, y))数量. ((1 le L le R le 10^6))

Solution

首先，直接求满足要求的方案不容易求，可以转化为求不满足要求的方案数
不满足要求的方案数可以分为两种:

• (g = 1) :
  即求 ([L, R]) 区间内，(gcd(x, y) = 1) 的 ((x, y)) 数量
  即: (sumlimits_{x = L} ^ Rsumlimits_{y = L} ^ R [gcd(x, y) = 1])
  带入公式: (sumlimits_{d | n} mu (d) = [n = 1])
  得: (sumlimits_{x = L} ^ Rsumlimits_{y = L} ^ Rsumlimits_{d | gcd(x, y)} mu (d))
  = (sumlimits_{d = 1} ^ R mu (d) * leftlfloordfrac{R}{d} - dfrac{L - 1}{d} ight floor * leftlfloordfrac{R}{d} - dfrac{L - 1}{d} ight floor)
• (g != 1) :
  处理 (dfrac{x}{g} = 1;or; dfrac{y}{g} = 1) 的情况
  令 (x < y) , 若符合上述情况, 即 (x | y)
  枚举 (x) , 计算 (x) 的倍数个数即可.

注: (L = 1) 时， ((1, 1)) 被重复计算两次，要特殊处理.

Sample Code (C++)

int L, R;
int primes[N], cnt, mu[N];
bool st[N];

void e_prime()
{
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i < N; ++ i)
	{
		if(!st[i]) 
		{
			primes[cnt ++] = i;
			mu[i] = -1;
		}
		for(int j = 0; i * primes[j] < N; ++ j)
		{
			st[primes[j] * i] = 1;
			if(i % primes[j] == 0) break;
			mu[i * primes[j]] = -mu[i]; 
		}
	}
}

int main()
{
	e_prime();
	IOS; cin >> L >> R;
	LL res = 0;
	// g = 1
	for(int i = 1; i <= R; ++ i)
	{
		LL tmp = (R / i - (L - 1) / i);
		res += mu[i] * tmp * tmp;
	}
	//g != 1
	for(int i = max(2, L); i <= R; ++ i) res += (R / i - 1) * 2;
	res = (LL)(R - L) * (R - L + 1) - res;
	if(L == 1) res ++;
	cout << res << endl;
	return 0;
}