Solution -「洛谷 P3773」「CTSC 2017」吉夫特

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求满足

[prod _{i=2}^{k} inom{a_{b_{i-1}}}{a_{b_i}} mod 2 = inom{a_{b_1}}{a_{b_2}} imes inom{a_{b_2}}{a_{b_3}} imes cdots inom{a_{b_{k-1}}}{a_{b_k}} mod 2 > 0 ]

的子序列个数。

Solution

哇哦。

[egin{aligned} & prod_{i=2}^{k}{a_{b_{i}-1}choose a_{b_{i}}} \ &equivprod_{i=2}^{k}{lfloorfrac{a_{b_{i}-1}}{2} floorchooselfloorfrac{a_{b_{i}}}{2} floor} imes{a_{b_{i}-1}mod2choose a_{b_{i}}mod2} end{aligned} (operatorname{mod} 2) ]

式子后面的 (dbinom{a_{b_{i}-1}mod2}{a_{b_{i}mod2}}) 一共有四种情况，其中只有 (dbinom{0}{1}=0)。其他都为 (1)。

意味着只要出现 (a_{b_{i}-1}equiv0mod2) 且 (a_{b_{i}}equiv1mod1) 的情况，整个式子就为零了。

结论：(dbinom{n}{m}equiv0space(operatorname{mod}2)) 当且仅当 (noperatorname{bitand}m=m)。

证明（也许不是特别严谨）：我们可以知道：

[{nchoose m}={lfloorfrac{n}{2} floorchooselfloorfrac{m}{2} floor} imes{nmod 2choose mmod2}={lfloorfrac{lfloorfrac{n}{2} floor}{2} floorchooselfloorfrac{lfloorfrac{m}{2} floor}{2} floor} imes {lfloorfrac{n}{2} floormod2chooselfloorfrac{m}{2} floormod2} imes{nmod 2choose mmod2}=cdots ]

我们发现：

[{lfloorfrac{lfloorfrac{lfloorfrac{n}{2} floor}{2} floor}{cdots} floorchooselfloorfrac{lfloorfrac{lfloorfrac{m}{2} floor}{2} floor}{cdots} floor} ]

这一坨，就是在一直进行二进制移位，(operatorname{shr}1)。

那么我们可以得出一个结论：如果对于我们记 ((n)_{k}) 表示 (n) 在二进制意义下的第 (k) 位。((n)_{k}in[0,1])

那么对于 (forall i)，有 ((n)_{i}=0) 且 ((m)_{i}=1)，那么 (dbinom{n}{m}equiv0space(operatorname{mod} 2))。

所以 (noperatorname{bitand}m=m)，证毕。

我们题目要求的是最后算出来是个奇数，那么就不能存在 (a_{b_{i}-1}operatorname{bitand}a_{b_{i}}=a_{b_{i}})。

也就是 (a_{b_{i}}) 为 (a_{b_{i}-1}) 的子集。

接下来我们可以设计一个 DP，我们设 (f_{i}) 为以 (a_{i}) 为开头的答案。

那么转移就是加法原理：

[f_{i}=f_{i}+f_{j},jin a_{i}wedge t_{j}>i ]

其中 (t_{i}) 表示 (i) 在序列中的位置。

时间复杂度由二项式定理可知是 (Theta(3^{log_{2}max{a_{i}}}))。

#include <cstdio>
#define mod ( 1000000007 )

const int MAXN = 250000 + 5;

int N;
int val[MAXN], dp[MAXN];
int buc[MAXN];

int main( ){
	scanf( "%d", &N ); for( int i = 1; i <= N; ++ i ){ scanf( "%d", &val[i] ); buc[val[i]] = i; }
	int Ans = 0;
	for( int i = N; i; -- i ){
		dp[i] = 1;
		for( int j = val[i] & ( val[i] - 1 ); j; j = ( j - 1 ) & val[i] ){
			if( buc[j] > i )	dp[i] = ( dp[i] + dp[buc[j]] ) % mod;
		}
		Ans = ( Ans + dp[i] ) % mod;
	}
	printf( "%d
", ( Ans - N + mod ) % mod );
	return 0;
}