Part. 1 FFT
Part. 1-1 Main
对于一个 (n) 次多项式 (F(x)=sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i})，在平面直角坐标系中可以由 (n+1) 个点唯一确定。
考虑带什么样的 (x) 进去，能够快速计算 (x^{n}) 并且有一定的性质，DFT 采用的是复单位根。
那么 DFT 就是把 (F(x)) 转为点值表示。我们来推式子：
先令 (L(x)=sum_{i=0}^{lfloorfrac{n}{2} floor-1}a_{2i}x^{2i},R(x)=sum_{i=0}^{lfloorfrac{n}{2} floor-1}a_{2i+1}x^{2i})。
[egin{aligned}
F(omega_{n}^{k})&=L((omega_{n}^{k})^{2})+omega_{n}^{k}R((omega_{n}^{k})^{2}) \
&=L(omega_{n}^{2k})+omega_{n}^{k}R(omega_{n}^{2k}) \
&=L(omega_{lfloorfrac{n}{2}
floor}^{k})+omega_{n}^{k}R(omega_{lfloorfrac{n}{2}
floor}^{2k}) \
end{aligned}
]
同时：
[egin{aligned}
F(omega_{n}^{k+lfloorfrac{n}{2}
floor})&=L(omega_{n}^{2k})+omega_{n}^{k+lfloorfrac{n}{2}
floor}R(omega_{n}^{2k}) \
&=L(omega_{lfloorfrac{n}{2}
floor}^{k})-omega_{n}^{k}R(omega_{lfloorfrac{n}{2}
floor}^{k})
end{aligned}
]
于是你直接分治，这是 DFT，注意要把多项式长度调整为 (2) 的幂。
递归常数大，考虑迭代。你会发现分治后的序列与原序列的关系是下标的二进制反转，然后就完了。
void fft(Poly &f,int op)
{
for(int i=0;i<lim;++i) if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
for(int len=2;len<=lim;len<<=1)
{
comp bas(cos(2*bh_pi/len),op*sin(2*bh_pi/len));
for(int fr=0;fr<lim;fr+=len)
{
comp now(1,0);
for(int ba=fr;ba<fr+(len>>1);++ba,now*=bas)
{
comp tmp=now*f[ba+(len>>1)];
f[ba+(len>>1)]=f[ba]-tmp;
f[ba]+=tmp;
}
}
}
if(op==-1) for(int i=0;i<lim;++i) f[i]/=lim;
}