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  • 贪心算法-图的最短路径算法Dijkstra之证明

    一、问题:图的最短路径

      定义图G=(V,E),而且每条边上的权值非负,求顶点s 到图中任意一点的最短距离。图中任意两点之间的距离定义为:路径上所有边的权值的和。

    二、算法:Dijkstra算法

       设S是探查的顶点的集合,对每个,我们存储一个距离d(u)

       初始S={s},d(s)=0

        While S != V

          选择一个顶点使得从S到v至少有一条边并且

          

          把v加入到S并且定义

        End

    三、证明算法的正确性:

      只需证明,在算法执行中任意一点的集合S,对每个,路径是最短的s-u路径。

      用数学归纳法证明算法的正确性:

    1. |S|=1 时, S={s},d(s)=0 显然成立
    2. 假设|S|=k时,命题成立

       既对每个,路径Pu是最短的s-u路径

      3. |S|=k+1

       假设此时引入的顶点是v,令(u,v)是s-v路径上最后的一条边。

       现在我们证明是s-v的所有路径中最短的路径。

       s要到达v,必须首先离开S,然后到达y,最后y到达v

       该距离:

       而从Dijkstra算法知,

       又因为,图中所有边的权值非负,

       所以有:

          故而Pv是s-v的所有路径中最短的路径。

     

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