完全平方数的末两位数字类型的另一种证明

1. 问题(来自Rosen的《初等数论及其应用》第6版P99第5题)

证明完全平方数的最后两个十进制数字（个位和十位）一定是下列数对之一：{00, e1, e4, 25, o6, e9}

注：e = even number, o = prime number, 0也为偶数

2. 验证一下

n	n2	末尾数对类型
0	0	00
1	1	e1
2	4	e4
3	9	e9
4	16	e4
5	25	25
6	36	o6
7	49	e9
8	64	e4
9	81	e1

3. 证明

3.1 思路

要证明n²的个位和十位的数值，简单的做法是将其表示出来，看是否满足一些规律

n² = n * n

根据我们计算乘法的方法：

设n = a_n…a₂a₁    (an ∈ {0, 1, …, 9})

放在百位以上的数据已经不影响个位和十位了

设f(x) = x的个位和十位的数列

可知n²的十位和个位f(n²) = f(a₁a₁ + 10*a₂a₁ + 10*a₂a₁)

                               = f(a₁² + 10*(2a₂a₁))

∴n²个位 = a₁² 的个位，n²的十位 = (2a₂a₁) + (a₁² 的十位)

a1	a12 + 10*(2a2a1)	2a2（十位）	末尾数对类型
0	0	0	00
1	10*(0+2a2) + 1	2a2 = e	e1
2	10*(0+4a2) + 4	4a2 = e	e4
3	10*(0+6a2) + 9	6a2 = e	e9
4	10*(1+8a2) + 6	1+8a2 = o	e4
5	10*(2+10a2) + 5	2+10a2 = 2	25
6	10*(3+12a2) + 6	3+12a2 = o	o6
7	10*(4+14a2) + 9	4+14a2 = e	e9
8	10*(6+16a2) + 4	6+16a2 = e	e4
9	10*(8+18a2) + 1	8+18a2 = e	e1

∴对于所有的a₁，不论a₂的值是什么，f(n²)都成立，得证

4. 推论

根据第3部分的证明，我们还可以知道：

1> 只要n的个位 = 5, 则n²个位和十位 = 25，反之也成立

2> 只要n的个位 = 0, 则n²个位和十位 = 00，反之也成立

3> 只要n的个位 = 6, 则n²个位和十位 = o6，反之也成立

4> 不论a₂的值是什么，n²个位和十位数列和a₁²一样，即n²个位和十位数列类型只和n个位相关