1-2、算法设计常用思想之贪婪法

文章内容来自王晓华老师

贪心算法，是寻找最优解问题的常用方法
这种方法模式一般将求解过程分成若干个步骤，但每个步骤都应用贪心原则，选取当前状态下最好的或最优的选择（局部最有利的选择），并以此希望最后堆叠出的结果也是最好或最优的解。
因为不进行回溯处理，贪婪法只在很少的情况下可以得到真正的最优解，比如最短路径问题、图的最小生成树问题。
在大多数情况下，由于选择策略的“短视”，贪婪法会错过真正的最优解，而得不到问题的真正答案。但是贪婪法简单、高效，省去了为找最优解可能需要的穷举操作，可以得到与最优解比较接近的近似最优解，通常作为其他算法的辅助算法来使用。

贪婪法的基本设计思想有以下三个步骤：
• 建立对问题精确描述的数学模型，包括定义最优解的模型；
• 将问题分解为一系列的子问题，同时定义子问题的最优解结构；
• 应用贪心原则确定每个子问题的局部最优解，并根据最优解的模型，用子问题的局部最优解堆叠出全局最优解。

背包问题：有 N 件物品和一个承重为 C 的背包（也可定义为体积），每件物品的重量是 wi，价值是 pi，求解将哪几件物品装入背包可使这些物品在重量总和不超过 C 的情况下价值总和最大。
背包问题（Knapsack Problem）是此类组合优化的NP完全问题的统称，如货箱装载问题、货船载物问题等，因问题最初来源于如何选择最合适的物品装在背包中而得名，这个问题隐含了一个条件，每个物品只有一件，也就是限定每件物品只能选择 0 个或 1 个，因此又被称为 0-1 背包问题

实例

　　有一个背包，最多能承载重量为 C=150 的物品，现在有 7 个物品（物品不能分割成任意大小），编号为 1~7，重量分别是 wi=[35,30,60,50,40,10,25]，价值分别是 pi=[10,40,30,50,35,40,30]，现在从这 7 个物品中选择一个或多个装入背包，要求在物品总重量不超过 C 的前提下，所装入的物品总价值最高。

思路

　　常见的贪婪策略有三种：第一种策略是根据物品价值选择，每次都选价值最高的物品，此时包中物品总重量是 130，总价值是 165。第二种策略是根据物品重量选择，每次都选择重量最轻的物品，此时包中物品总重量是 140，总价值是 155。第三种策略是定义一个价值密度的概念，每次选择都选价值密度最高的物品，物品的价值密度 si 定义为 pi/wi，此时包中物品的总重量是 150，总价值是 170，我们可以选用合适的策略，得到较优解

通用的解题思路

/**GreedyAlgo() 函数是贪婪算法的主体结构，包括子问题的分解和选择策略的选择都在这个函数中。
能够明显看出来这个算法使用了迭代法的算法模式，当然，这个算法主体的实现还可以使用递归法，
正如函数所展示的那样，它可以作为此类问题的一个通用解决思路：
*/
void GreedyAlgo(KNAPSACK_PROBLEM *problem, SELECT_POLICY spFunc)
{
    int idx;
    int ntc = 0;

    //spFunc 每次选最符合策略的那个物品，选后再检查
    while((idx = spFunc(problem->objs, problem->totalC - ntc)) != -1)
    {
        //所选物品是否满足背包承重要求？
        if((ntc + problem->objs[idx].weight) <= problem->totalC)
        {
            problem->objs[idx].status = 1;
            ntc += problem->objs[idx].weight;
        }
        else
        {
            //不能选这个物品了，做个标记后重新选
            problem->objs[idx].status = 2; 
        }
    }

    PrintResult(problem->objs);
}
/**spFunc 参数是选择策略函数的接口，通过替换这个参数，可以实现上文提到的三种贪婪策略，
分别得到各种贪婪策略下得到的解。以第一种策略为例，每次总是选择 price 最大的物品，可以这样实现：
*/

int Choosefunc1(std::vector<OBJECT>& objs, int c)
{
    int index = -1;  //-1表示背包容量已满
    int mp = 0;
    for(int i = 0; i < static_cast<int>(objs.size()); i++)
    {
        if((objs[i].status == 0) && (objs[i].price > mp))
        {
            mp = objs[i].price;
            index = i;
        }
    }

    return index;
}

lua代码实现

-- 物品
-- obj = {
--     weight = 0,
--     price = 0,
--     status = 0  -- 0未选中  1已选中 2已不可选
-- } 

-- 背包
-- bag = {
--     obj_list = {},
--     totalC = 0
-- }

local function choose_func1(obj_bag, use_c)
    local index = -1  ---1表示背包容量已满
    local mp = 0
    for i = 1, #obj_bag.obj_list do
        if((obj_bag.obj_list[i].status == 0) and obj_bag.obj_list[i].price > mp) then
            mp = obj_bag.obj_list[i].price
            index = i
        end
    end
    return index
end

local function greedy_algo(bag, spFunc)
    local idx = nil
    local ntc = 0 -- 已用重量
    idx = spFunc(bag, ntc)
    while(idx ~= -1) do
        if(ntc + bag.obj_list[idx].weight) <= bag.totalC then
            bag.obj_list[idx].status = 1
            ntc = ntc + bag.obj_list[idx].weight
        else
            bag.obj_list[idx].status = 2
        end
        idx = spFunc(bag, ntc)
    end
    print("==============11111")
    dump(bag.obj_list)
end

local bag_1 = {
    obj_list = {
        {weight = 10, price = 10, status = 0},
        {weight = 20, price = 20, status = 0},
        {weight = 30, price = 40, status = 0},
        {weight = 40, price = 30, status = 0},
        {weight = 50, price = 50, status = 0},
        {weight = 60, price = 70, status = 0},
    },
    totalC = 150
}

greedy_algo(bag_1, choose_func1)

总结

贪婪法只能得到比较接近最优解的近似最优解，但是作为一种启发式辅助方法在很多算法中都得到了广泛的应用，很多常用的算法在解决局部最优决策时，都会应用到贪婪法。比如 Dijkstra 的单源最短路径算法在从 dist 中选择当前最短距离的节点时，就是采用的贪婪法策略。事实上，在任何算法中，只要在某个阶段使用了只考虑局部最优情况的选择策略，都可以理解为使用了贪婪算法。