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  • 莫比乌斯反演定理证明

    我也不知道为啥要证明这玩意,但是我比较傻,看懂一遍之后怕忘了,所以还是写个博客。。

    首先给出这么一个定义式:

    $f(n)=sum_{dvert n}g(d)$

    于是就有这么一个定理:

    $g(n)=sum_{dvert n}mu(d)cdot f(frac nd)$

    话说回来这个$mu(d)$就是莫比乌斯函数,定义是这样的

    (1)若,那么

    (2)若均为互异素数,那么

    (3)其它情况下

    于是有这样的性质

    (1)对任意正整数

      

    (2)对任意正整数

      

    第一个性质其实还算好证。大概手玩一下组合数就行了。第二个我没推也没用上、、

    下面是我xjb证的过程。。

    首先要证$g(n)=sum_{dvert n}mu(d)cdot f(frac nd)$,只要证明右边等于$g(n)$。

    右式$=sum_{dvert n}(mu(d)cdotsum_{evertfrac nd}g(e))$(定义式)

      $=sum_{dvert n}sum_{evertfrac nd}(mu(d)cdot g(e))$(分配率)

    稍微理解一下,发现其实是所有满足$(dcdot e)vert n$的二元组$(d,e)$之和。

    于是可以交换前两个sum的位置即

    $=sum_{evert n}sum_{dvertfrac ne}mu(d)cdot g(e)$

    $=sum_{evert n}g(e)cdotsum_{dvertfrac ne}mu(d)$(分配率逆定律)

    我们知道只有当$frac ne=1$即$e=1$的时候后半部分才等于1,其他情况都为0。所以就等于$g(n)$。

    得证。


    upd

    发现以前的证明不够优美啊。狄利克雷卷积的证明真的让人愉悦~

    详见知乎高票回答https://www.zhihu.com/question/23764267

    话说回来,莫比乌斯反演的第二种形式

    $g(n)=sum_{nvert d}mu(frac dn)f(d)$

    求一个证明啊qwq

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/orzzz/p/8023316.html
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