多传感器融合问题是近年来比较受关注，综合利用多个传感器信息，可以对系统的状态进行更精确的估计，避免了单一传感器带来的误差和风险。笔者最近阅读了多速率多传感器系统融合估计的一些文章，在此做一下简略介绍。所谓多速率，或称多尺度，是指在对目标进行观测时，各个传感器的采样速率（采样周期）不一样。举个例子，对一个飞机进行跟踪，使用三个雷达，1号每秒观测一次，2号2秒观测一下，3号3秒观测一次，如何综合此三个雷达的观测信息而得到飞机更准确的位置呢，这就需要对传感器的信息进行融合。
1、小波变换的缺点
最早提出多速率（多尺度）融合是在1989年（Chou,Willsky），以目标跟踪为背景，Hong和国内的学者潘泉、文成林等人提出和发展了基于小波分解的融合方法，但他们的算法有一个共同的前提：不同传感器的采样率之间呈2的倍数关系，也就是说采样率需为1,2,4,8,16等。对于采样率之比呈任意正整数甚至有理数的情形无能为力。
2、均匀采样（uniform sample）与非均匀采样（non-uniform sample）
闫莉萍等人（2006）提出了采样率之比为任意正有理数的多速率融合算法，针对的是一类均匀采样的系统，也就是说各传感器采样时间是系统状态更新时间的整数倍，假设系统状态每1秒更新一次，那么传感器的采样将会固定的在2的倍数、3的倍数、4的倍数等时刻进行，如下图。
对应于均匀采样，当然也有非均匀采样。非均匀采样是将观测序列分为数据块（block）,数据块的长度就是传感器采样的周期。非均匀采样是指在传感器在其对应的每个数据块内会有一次采样，但具体在哪一时刻是随机的，如上图的传感器3，在均匀采样中它只能在3,6,9等时刻采样，但非均匀采样时它可以在（1~3）、（4~6）、（7~9）等时间段内的任意一个点采样。下图为一个非均匀采样的例子。
3、融合算法
均匀采样的情形比较容易处理，i尺度上第k个采样点的值与N尺度上第ni*k时刻采样点的值相对应（公式如下，S表示采样速率，N代表最高采样率的传感器），举例来说，图1的传感器3的第1次采样的状态值与传感器1第3次采样的状态值相同，具体见文献[1],[2]。
已知系统的状态空间模型如下：
将前面公式的右边项按照状态方程展开，就可以得到传感器i的状态方程，这里状态方程的系统矩阵Ai和噪声项wi均有变化，而且可以注意到对于不同的传感器，观测方程的参数也不一样。
以上是闫莉萍的融合算法（文献[1]）中的建模过程，对于均匀采样系统，其算法整体可总结为以下框图：
各传感器建模之后，就可以进行局部的卡尔曼滤波，从而得到基于各传感器的观测分别对系统状态的估计。当然，由于传感器采样速率的差异，通过每个局部滤波器只能得到采样点的状态估计，也就是图中的红色图案。
为了统一各尺度信息，在融合的时候可以有两种处理方法：
1）、在只有一个传感器采样的时刻，如上图中的1、5、7点，不进行融合，直接取尺度3的估计值作为融合值；在有两个及以上传感器采样的时刻，对有采样的各传感器使用联邦滤波器进行融合（文献[1]）。
2）、对于每个传感器，利用卡尔曼预估器获得其没有采样的数据点的预报值，从而在各尺度获得每个时刻的估计值，进而使用联邦滤波器或其他融合方法进行融合，如下图。(文献[2][3])。
联邦滤波器是上个世纪90年代提出的概念（文献[4]），基本思想是将各局部滤波器的估计结果加权平均后作为融合估计值。各传感器的权值的分子为其协方差阵的逆，分母为所有传感器的协方差阵逆的和。直观的看，协方差阵越大，则传感器的权值越小。联邦滤波公式如下：
对于非均匀采样的多速率系统，由于具体采样的点不确定，所以取数据块内所有系统状态的均值作为采样点的状态值（文献[3][5]）。
闫莉萍的给出的算法（文献[3]）是：首先忽略状态空间模型中的系统噪声w，由每个数据块最后一个数据表示块内其他数据：
之后将得到的数据块内的状态值求均值，定义为随机的采样点的状态值，如下式。
之后的建模过程就与均匀采样的情况类似了，将上式的右侧按系统状态方程展开，就得到传感器i的状态空间模型。
建立模型之后就可以进行局部系统的卡尔曼滤波，得到状态估计值。然后，按照上面的算法流程，是将各尺度的估计值统一，这里的做法采用预报值来代替没有采样的时刻的状态估计值，也就是上文中的第二种方法。统一尺度后的各子系统的估计值和状态误差协方差阵P如下：
最后一步是通过联邦滤波器进行各子系统的状态融合。
然而闫的算法在建模的过程中忽略了系统噪声，虽然这样做减少了计算代价，但却使模型的精确度降低，因此，孙书立（文献[5]）改进了其算法，建模过程中将系统噪声考虑在内：
该模型的前两项与闫的模型相同，由于考虑了系统噪声，在迭代过程中多了最后一项。这样一来，建立的模型中系统噪声一项w不再是白噪声（不仅在同时刻相关，在相邻时刻也相关），因此不能用经典的Kalman滤波算法来估计状态值。作者使用投影法针对此噪声相关的情况重新推导了相应的滤波公式，并与闫丽萍的算法（文献[8]）做了对比，仿真表明考虑了噪声项之后精度得到提高。
本篇主要对近几年多速率问题的几篇论文进行了一下总结，主要是关于多速率多传感器的建模问题。下一篇将讨论建模之后各传感器数据的融合算法。
参考文献：
[1]. 闫莉萍等, 一类多速率多传感器系统的状态融合估计算法. 电子与信息学报, 2007(02): 第443-446页.
[2]. Peng, F.F. and S.L. Sun, Distributed Fusion Estimation for Multisensor Multirate Systems with Stochastic Observation Multiplicative Noises. MATHEMATICAL PROBLEMS IN ENGINEERING, 2014(373270).
[3]. Yan, L.P., et al., State estimation for asynchronous multirate multisensor dynamic systems with missing measurements. Signal Processing, IET, 2010. 4(6): p. 728-739.
[4]. Carlson, N.A., Federated square root filter for decentralized parallel processes. IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systems (Institute of Electrical and Electronics Engineers), 1990.
[5]. 林红蕾, 马静与孙书利, 一类非均匀采样系统的最优状态滤波器. 系统科学与数学, 2012(06): 第768-779页.