牛顿迭代法

牛顿迭代法求平方根和立方根：

（作者初学，文章有些粗略，请谅解。）

code：

#include<cstdio>
using namespace std;
double n;
double sqrt(double x) {//平方根

    double b;
    int sum;
    while(x!=b) {
        b=x;
        x=(x+n/x)/2;
        ++sum;
    }
    return x;
}
int main() {
    scanf("%lf",&n);
    double ans=sqrt(n);
    printf("%.13lf",ans);
}

#include<cstdio>//立方根
#include<cstdlib>
double newton(double a){
    double xn,xn_1;
    xn=1;
    xn_1=xn-((xn*xn*xn-a)/(3*xn*xn));
    while(xn-xn_1>0.000001||xn-xn_1<-0.000001){
        xn=xn_1;
        xn_1=xn-((xn*xn*xn-a)/(3*xn*xn));
    }
    return xn_1;
}
int main(){
    double a;
    scanf("%lf",&a);
    a=newton(a);
    printf("%.13lf",a);
    return 0;
}

牛顿迭代法原理：

求平方根：

   为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

   同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

   以此类推。（迭代的起点要恰当）。

   以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0，二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

(x_i + n/x_i) / 2尤其重要。

求立方根：

对于求a的立方根，可以设f(x)=x^3-a，从而转换成求解f(x)=0，即求方程的根。

f(x)展开泰勒公式：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，得出的x=x0-f(x0)/f'(x0)=g(x0)，此时递归调用该式子可以逐步接近于最终结果。

为什么会接近于最终结果？当然，牛顿迭代并不是无条件收敛的。

首先，要保证f'(x0)!=0，这样f(x)=0将等价于x=x-f(x)/f'(x)。而x_k+1=xk-f(xk)/f'(xk)=g(xk),由迭代过程收敛性定理可得abs(g'(xk))<=L<1(具体证明请读者自行查找)。

g'(x*)=f(x*)*f''(x*)/[f'(x)]^2,x*为f(x)的一个根，所以g‘(x*)=0,g''(x*)=f''(x*)/f'(x*)!=0,只要f’‘(x*)!=0，则牛顿迭代法收敛。

牛顿迭代法相比起二分收敛快，代码量少，但内容要深入理解。

（感谢qlky的解释）