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  • 近世代数

    群

     群 = 非空集合 + 二元运算 + 性质

    半群

    设 [公式] 为一个非空集合， [公式] 上有二元运算 [公式] ，满足结合律，则称 [公式] 或 [公式] 为一个半群。

    扩展：

    幺元：假设半群 [公式] ，若元素 [公式] 满足 [公式] ， [公式] ，则称 [公式] 为 [公式] 的左幺元。同样的可以推广至右幺元。若 [公式] 既是左幺元又是右幺元，则称 [公式] 为 [公式] 的幺元，同时称 [公式] 为幺半群。

    逆元：设 [公式] 为幺半群， [公式] 为幺元， [公式] 。若元素 [公式] 满足 [公式] ，则称 [公式] 为 [公式] 的左逆元。同样可以推广至右逆元。若 [公式] 既是 [公式] 的左逆元又是右逆元，则称 [公式] 为 [公式] 的一个逆元，将 [公式] 记为 [公式] 。

    群定义

    幺半群 [公式] 每个元素都可逆，则把 [公式] 称为群。

    第一定义：

    从集合观点来看： [公式] ，定义一个二元运算 [公式]

    1. [公式] 对于 [公式] 封闭。
    2. 运算 [公式] 满足结合律。
    3. [公式] 里面存着幺元， [公式] 。
    4. [公式] 存在逆元， [公式] 使得 [公式] 。

    第二定义：

     [公式] ，定义一个二元运算 [公式]

    1. [公式] 对于 [公式] 封闭。
    2. 运算 [公式] 满足结合律。

    3.  [公式] 中存在左（右）幺元 [公式] 

    4. [公式] ， [公式] 存在左（右）逆元 [公式] ， [公式]

    扩展：

    群阶：设 [公式] 为群， [公式] 的阶指的是 [公式] 中元素的个数，记号为 [公式] 。 [公式] 则称为有限群，否则称为无限群。当 [公式] 时，我们可以用群表表示出来。

    映射

    设函数 [公式]
    单射：任给 [公式],[公式] [公式] ,若 [公式] ,则 [公式] ，称 [公式] 为单射

    满射：任给 [公式] ，都存在 [公式] 使得 [公式] , 称 [公式] 为满射

    双射：若 [公式] 既是单射又是满射，称 [公式] 为双射，也叫一一对应。

    代数运算

    设 [公式] 为三个非空集合，一个映射 [公式] ，该映射称为 [公式] 到 [公式] 的一个代数运算。

    如果 [公式] ,代数运算 [公式] 称为 [公式] 上的二元运算

    运算表

    [公式] ,定义 [公式] ,

    [公式]

    运算表如下：

      1 2
    1 奇 偶
    2 偶 奇

    对角线对称，可以发现这是一个交换的集合，其实可以看到 [公式] 。所以，交换律其实可以从表中可以看出来。

    分类

    [公式] 一个 分类就是将 [公式] 写成一些不相交的非空子集的并


    [公式]

    关系

    集合 [公式] 中一种对两个元素而言的一种性质，使 [公式] 中任何两个元素要么有关系，要么没关系，二者必居其一。用 [公式] 表示， [公式] 与 [公式] 有关系 [公式] ，记为 [公式] ，无关系 [公式] ，记为 [公式] .

    等价关系

    设 [公式] 中定义了关系 [公式] ，若 [公式] 满足条件

    • 反身性： [公式] .
    • 对称性： [公式] .
    • 传递性： [公式]

    则称 [公式] 为等价关系

    等价关系与分类的关系：

    等价关系 [公式] 分类，即[公式] 中一个等价关系 [公式] 决定 [公式] 的一个分类、[公式] 的一个分类决定 [公式] 中一个等价关系

    等价类

    设 [公式]， [公式] 中有一个等价关系 [公式] ， [公式] ，定义 [公式] 的等价类 [公式] （或称 [公式] 所在的等价类）。

    设 [公式]， [公式] 中定义了等价关系 [公式] ，定义集合 [公式] (重复的只取一个)称为 [公式] 对 [公式] 的商集合

    同余关系

    设 [公式]， [公式] 中定义了二元运算 " [公式] "，有定义了等价关系 [公式] ，如果 [公式] 和 " [公式] " 满足条件 [公式] ，则称 [公式] 为 " [公式] " 的同余关系

    子群

    假设 [公式] 为群， [公式] ，若 [公式] 在 [公式] 的运算构成群，则称 [公式] 为 [公式] 的子群，记为 [公式] ，注意，这个不是表示小于的意思

    假设 [公式] ，则 [公式] 

    设 [公式] ，则下列条件等价：

    1. [公式] 是 [公式] 的正规子群，即 [公式] ；
    2. [公式]
    3. [公式] ，其中 [公式] (对任何的非空子集 [公式] )

    不变子群（正规子群）

    假设 [公式] 为群， [公式]，[公式]，则[公式] 是一个不变子群，记 [公式]

    判定定理：

    1、假设 [公式] 为群， [公式]，则[公式]当且仅当[forall g in G]，有$ gH{g^{ - 1}} = H$

    2、假设 [公式] 为群， [公式]，则[公式]当且仅当[forall g in G 和 forall h in H]，有$ g{ m{h}}{g^{ - 1}} in H$  

    扩展：

    1、一个交换群[公式] 的每一个子群[公式] 都是不变子群

    2、平凡子群都是不变子群

    平凡子群：设[公式] 为群，{e}和[公式] 本身是[公式] 的平凡子群

    陪集

    设 [公式] 为群， [公式] ，定义 [公式] 称为 [公式] 为代表元的 [公式] 的一个左陪集，[公式] 称为 [公式] 为代表元的 [公式] 的一个右陪集；换句话说，一个不变子群[公式] 的一个左（右）陪作 [公式]的一个陪集

    设 [公式] 为群， [公式] ，则关系 [公式] 为等价关系。 [公式] 所在的等价类 [公式] 恰好是 [公式] 的左陪集 [公式] ，故 [公式] 的所有左陪集构成 [公式] 的一个分类。

    商群

    定义1：设 [公式]，则等价关系 [公式] 是 [公式] 的同余关系 [公式] [公式] ，这个时候， [公式] 对于诱导的运算构成一个群，则称 [公式] 为 [公式] 的商群，记为 [公式] 。

    定义2：一个群[公式] 的一个不变子群  [公式]的陪集（关于陪集的乘法）所作成的群叫做一个商群，记为 [公式] 

    即：若[公式]，是群[公式]关于其不变子群[公式]的一个陪集分解，对于，定义：，则[公式] 关于上述法则作成一个群，叫做群[公式] 关于不变子群[公式] 的商群

    举例：[公式] 为 [公式] 群， [公式] ， [公式] ，则 [公式] 为群， [公式]，由 [公式] ，设 [公式] ，则 [公式] ，所以[公式]为模 [公式] 的剩余类加群， 

    同态和同构

    设 [公式] ， [公式] 为 [公式] 到 [公式] 的映射，如果

    [公式] 称 [公式] 为 [公式] 到 [公式] 的同态映射，简称为同态。若同态 [公式] 为单射，称 [公式] 为单同态(满射 [公式] 满同态)。若同态 [公式] 为双射，则称 [公式] 为同构，这时称 [公式] 和 [公式] 同构，记为 [公式] 。

    扩展：

    1、设 [公式] 为同态，定义 [公式]（0指的是[公式] 中的0元）称为 [公式] 的核，换句话说Kerf也就是[公式] 中0元的原像

    2、[公式] .

    3、（群的同态基本定理). 设 [公式] 的满同态，则 [公式]

    循环群

    假设 [公式] 是一个群，如果存在 [公式] ，使得 [公式] ，则 [公式] 为循环群，记为 [公式] ，称 [公式] 为群 [公式] 的生成元。

    举例： [公式] 为循环群， [公式] 都为生成元

    定理：

    1、循环群肯定为交换群 (Abel群)。

    2、循环群的子群也是循环群。

    3、假设 [公式] 是一个由元[公式]所生成的循环群，那么[公式] 的构造完全可以由a的阶来决定：

    [公式]的阶若是无限的，那么[公式]与整数加群同构

    [公式]的阶若是一个有限整数m，那么[公式]与模m的剩余类加群同构

    即：假设 [公式] 是一个循环群，若 [公式] ，则 [公式] ，若 [公式] ，则 [公式] 【 [公式] 是[公式] 的子群形式】。我们可以得到两个循环群同构 [公式] 它们的阶相同。

    4、设 [公式] , 则 [公式] 中存在唯一的 [公式] 阶子群。

    模m的剩余类加群

    假设 [公式] 是一个循环群，[公式] 包含模m的m个剩余类，[a]表示a这个整数所在的剩余类，现规定一个代数运算：，对于这种运算[公式] 所作成一个群，这个群叫做模 [公式] 的剩余类加群，

    变换

    变换是一种特殊的映射

    一个集合[{ m A}]，[{ m A}]到[{ m A}]自己的映射，叫做[{ m A}]的一个变换：

    随之对应的 “单射变换”、“满射变换”、“一一变换”

    将集合[{ m A}]的全体变换作成一个集合，在集合上定义一个代数运算：，这种运算也可以看成变换的复合

    这种运算适合结合律：

    变换群

     一个集合[{ m A}]的若干个一一变换对于上述的规定的运算所作成的一个群叫做[{ m A}]的一个变换群

    定理：

    1、（Cayley定理）任何群都与一个变换群同构

    2、一个集合[{ m A}]的所有的一一变换作成一个变换群G

    3、变换群一般不是交换群

    置换

     一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换

    置换群

    置换群是变换群中的一个特例

    一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫做一个置换群

    一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群，记 

    定理：

    1、奇置换乘奇置换为偶置换，奇置换与偶置换之积为奇置换，偶置换与偶置换之积为偶置换，奇置换之逆是奇置换，偶置换之逆是偶置换。

    2、n次对称群的阶是n！

    3、每一个有限群都与一个置换群同构

    4、每一个置换都可以写成不相连的循环置换的乘积

    环

    加群

    一个代数运算是加法的交换群是加群

    [公式] 对于加法的单位元为 [公式] ，称为 [公式] 的零元；

    设 [公式] ， [公式] 在加法运算下的逆元记为 [公式] ，记为 [公式] 的负元。

    [公式] 个 [公式] 连加记为 [公式] ；

    规定 [公式]

    环定义

    一个集合是环，需满足：

    1、是个加群，即对于一个叫做加法的代数运算作成一个交换群

    2、对于另一个叫做乘法的代数运算，是闭的

    3、满足结合率：

    4、满足分配率：

    扩展：

    1、单位元：环中一个元，满足：，若环中有单位元，则只能有一个；环未必有一个单位元

    2、逆元：一个有单位元环的一个元叫做元的一个逆元：；环中的元未必有逆元

    3、零因子：环[公式]中：，是环的一个左零因子，是环的一个右零因子，都简称为零因子

    4、一个环 [公式] 没有零因子 [公式] [公式] 满足左右消去律。

    环的特征

    设 [公式] ，且为无零因子环，1）则 [公式] 中所有非零元对于 [公式] 的加法具有相同的阶，2）且当这一个共同的阶有限时必为素数。

    设 [公式] 为无零因子环，若 [公式] 中非零元的阶为无穷时，则称 [公式] 的特征 [公式] ，若 [公式] 中所有的非零元都是有限 [公式] 阶的（ [公式] 为素数），则称 [公式] 的特征为 [公式] 。环的特征记为 [公式] 。

    交换环

    环[公式]叫做交换环，满足：

    整环

    环[公式]叫做一个整环，满足：

    1、乘法满足交换率：

    2、[公式]有单位元1：

    3、[公式]没有零因子：

    举例：整数环是一个整环

    除环

    环[公式]叫做一个除环，满足：

    1、[公式]至少包含一个不等于零的元

    2、[公式]有一个单位元

    3、[公式]的每一个不等于零的元有一个逆元

    扩展：

    1、除环是没有零因子的，因为：

    2、除环[公式]的不等于零的元对于乘法来说作成一个群，叫做除环[公式]的乘群，因为：

    （1）对于乘法来说是闭的

    （2）乘法适合结合律

    （3）有单位元，就是[公式]的单位元

    （4）的每一个元有一个逆元

    故，一个除环是由两个群，加群和乘群，合成的；分配率好像是一座桥，使得两个群中间之间发生一种联系

    子环

    设 [公式] 为环， [公式] 是 [公式] 的非空子集，若 [公式] 对于 [公式] 的加法和乘法构成环，则称 [公式] 为 [公式] 的子环。

    [公式] 的非空子集 [公式] 是 [公式] 的子环充要条件是 [公式] 。

    理想

    若子环 [公式] 满足 ，和，则称是环的一个左理想；

    若子环 [公式] 满足 ，和，则称是环的一个左理想

    若 [公式] 既是 [公式] 的左理想又是 [公式] 的右理想，则称 [公式] 为 [公式] 的双边理想，简称理想。属于子环

    扩展：

    1、[公式] 分别是环的最小和最大理想，称为平凡理想

    2、设 [公式] 是一个环， [公式] 是 [公式] 的理想，若 [公式] ，则 [公式] 或 [公式] ，则称 [公式] 是素理想。

    3、[公式] 是交换环， [公式] 是 [公式] 的理想，且 [公式] ， 则 [公式] 是 [公式] 的素理想 [公式][公式] 是整环。

    4、[公式] 是环 [公式] 的理想，若 [公式] ，且不存在 [公式] 的真理想 [公式] ,使得 [公式] ，则称 [公式] 是极大理想

    5、[公式] 是交换环R的极大理想 [公式]是域

    6、交换环R的极大理想一定是素理想。

    [公式] 的极大理想 [公式]

    [公式] 是域 [公式] 是整环 [公式] 是素理想 

    剩余类环

    1、剩余类

    一个环[公式]和环的理想[公式]，以加法运算，[公式]环作成一个群，[公式]作成[公式]的一个不变子群，这样[公式]的陪集：作成[公式]的一个分类，把这些分类叫做模[公式]的剩余类

    把所有的剩余类作成一个集合叫做 ，并规定两个法则：

    这就是的代数运算

    2、若 [公式]是一个环，[公式]是它的理想，是所有模[公式]的剩余类作成的集合，那么本身也是一个环，且【同态】

    3、叫做环[公式]的模[公式]的剩余类环，记

    4、若 [公式]和时两个环，且同态，那么这个同态满射的核[公式]是[公式]的一个理想，且

    5、环[公式] 到环的一个同态满射下：

    （1）[公式] 的一个子环的象是的一个子环

    （2）[公式] 的一个理想[公式]的象是的一个理想

    （3） 的一个子环的逆象是[公式]的一个子环

    （4）的一个理想的象[公式]是[公式] 的一个理想

    环的同态

    [公式] 是两个环， [公式] 是 [公式] 到 [公式] 的映射，若满足 [公式] ，

    [公式]

    则称 [公式] 是 [公式] 到 [公式] 的同态，若 [公式] 是单射，则称 [公式] 是单同态，若 [公式] 是满射，则称 [公式] 是满同态，若 [公式] 是双射，则称 [公式] 是同构，即 [公式] 

    易知， [公式] ， [公式]，[公式] 是环 [公式] 的理想。

    扩展：

    1、[公式] 为环，定义

    [公式]， [公式] 是同态，称为零同态

    2、[公式] 是 [公式] 到 [公式] 的同态， [公式] 是 [公式] 到 [公式] 的同态，则 [公式] 是 [公式] 到 [公式] 的同态，若 [公式] 是单同态，则 [公式] 是单同态，若 [公式] 是满同态，则 [公式] 是满同态。若 [公式] 是同构，则 [公式] 是同构，则 [公式] 是 [公式] 到 [公式] 的同构。

    3、 （环的同态基本定理）设 [公式] 是环 [公式] 到 [公式] 的满同态，则 [公式] 

    商环

    设 [公式] 是[公式] 的理想，在 [公式] 中定义关系 [公式]

    [公式]

    则关系 [公式] 是等价关系，且对于环的加法和乘法是同余关系，记 [公式] 的等价类为 [公式] ，在商集和 [公式] 上定义加法和乘法，

    [公式]

    则 [公式] 对于上述运算构成一个环，称为 [公式] 对于理想 [公式] 的商环。

    扩展：[公式] 是交换环，可以推出 [公式] 是交换环， [公式] 是幺环，则 [公式] 也是幺环，且 [公式] 是 [公式] 的单位元。

    多项式环

    若是一个有单位元的交换环，[公式]是的子环，且包含的单位元，现从中取出一个元，则有意义，即也是的一个元

    1、多项式

    一个可以写成形式的的元叫做[公式]上的的一个多项式，叫做多项式的系数

    2、现将所有[公式]上的多项式放到一起，作成一个集合，记，且对于加法和乘法都是闭的，也满足结合律和交换律，所以是一个环，故叫做[公式]上的的多项式环

    3、未定元

     上的一个元叫做[公式]上的一个未定元，满足：

    4、一元多项式

    令 是环[公式]上的一个一元多项式，则非负数叫做这个多项式的次数

    扩展：

    若 [公式] 非零， [公式] ，则、

    1) [公式] 或 [公式]

    2) [公式] 或 [公式] ,等号成立当且仅当 [公式] 的首项系数 [公式] 与 [公式] 的首项系数 [公式] 的乘积 [公式] 不为零,特别地，若 [公式] 为整环，则 [公式] 也是整环。

    现在定义 [公式] 到 [公式] 的映射 [公式] , 则显然 [公式] 是环的单同态。由此 [公式] 可以看成 [公式] 的一个子环。若 [公式] 是整环，则整环 [公式] 的所有单位就是 [公式] 的所有单位。

    整环里的因子分解

    唯一分解定理：一个整数可以惟一的写成若干素数的乘积

    唯一分解

    1、单位

    整环[公式] 的一个元叫做[公式] 的一个单位，若有逆元

    一个整环中至少有两个单位，就是1和-1

    性质：

    （1）两个单位$alpha 和alpha '$的乘积$alpha alpha '$也是一个单位，单位$alpha$的逆元${alpha ^{{ m{ - }}1}}$也是一个单位

    2、相伴元

    元b叫做元a的相伴元，若b是a和一个单位的乘积：$b = alpha a$

    3、平凡因子

    单位以及元a的相伴元b 叫做a的平凡因子，其余a的因子，叫做a的真因子

    4、因子

    整环[公式]的一个元a可以被另外一个元b整除，且有第三个元c，使得：${ m{c}} = ba$，叫a可以被b整除，b是a的因子，记$b|a$

    5、素元

    整环[公式]的一个元p叫做一个素元，满足：p既不是零元也不是单位，且p只有平凡因子

    扩展：

    （1）单位e同素元p的乘积ep也是一个素元

    （2）整环中的一个不等于零的元a有真因子的充分必要条件是：a=bc，b,c都不是单位

    （3）假定a≠0，且a有真因子b:  a=bc 那么c也是a的真因子

    6、唯一分解

    一个整数环[公式]的一个元a在[公式]的里有唯一分解，满足：

    （1）$a = {p_1}{p_2}...{p_r}$（pi是[公式]的素元）

    （2）若同时$a = {q_1}{q_2}...{q_s}$（qi是[公式]的素元）

    那么 r=s （个数相同）

    唯一分解环

    一个整环[公式]叫做一个唯一分解环，若：[公式]的每一个既不等于零又不等于单位的元都有唯一分解

    一个整环[公式]满足以下性质，就是唯一分解环：

    1、[公式]的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解：$a = {p_1}{p_2}...{p_r}$（pi是[公式]的素元）

    2、[公式]的一个素元p若能整除ab，那么p能整除a或者b

    则[公式]一定是一个唯一分解环

    扩展：

    1、一个唯一分解环中：若一个素元p能够整除ab，那么p能够整除a或者b

    2、最大公因子

    元c叫做元${a_1},{a_2},...,{a_n}$的公因子，若c同时能够整除${a_1},{a_2},...,{a_n}$

    元 ${a_1},{a_2},...,{a_n}$的一个公因子d叫做${a_1},{a_2},...,{a_n}$的最大公因子，若d能够被${a_1},{a_2},...,{a_n}$的每一个公因子c整除

    域

    域定义

    一个交换除环叫做一个域，一种特殊的环

    参考

    1、安全六三   

    2、近世代数基础（张禾瑞） 

    3、视频

    4、简书

    作者： Pam

    出处： https://www.cnblogs.com/pam-sh/>

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