什么是P问题、NP问题和NPC问题

来源：Matrix67

什么是时间复杂度？

关键字：多项式级复杂度

时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间，而是当问题规模扩大后，程序需要的时间长度增长得有多快。也就是说，对于高速处理数据的计算机来说，处理某一个特定数据的效率不能衡量一个程序的好坏，而应该看当这个数据的规模变大到数百倍后，程序运行时间是否还是一样，或者也跟着慢了数百倍，或者变慢了数万倍。

不管数据有多大，程序处理花的时间始终是那么多的，我们就说这个程序很好，具有O(1)的时间复杂度，也称常数级复杂度；

数据规模变得有多大，花的时间也跟着变得有多长，这个程序的时间复杂度就是O(n)，比如找n个数中的最大值；

而像冒泡排序、插入排序等，数据扩大2倍，时间变慢4倍的，属于O(n²)的复杂度。

还有一些穷举类的算法，所需时间长度成几何阶数上涨，这就是O(aⁿ)的指数级复杂度，甚至O(n!)的阶乘级复杂度。

不会存在O(2*n²)的复杂度，因为前面的那个“2”是系数，根本不会影响到整个程序的时间增长。同样地，O (n³+n²)的复杂度也就是O(n³)的复杂度。因此，我们会说，一个O(0.01*n³)的程序的效率比O(100*n²)的效率低，尽管在n很小的时候，前者优于后者，但后者时间随数据规模增长得慢，最终O(n^3)的复杂度将远远超过O(n^2)。我们也说，O(n^100)的复杂度小于O(1.01^n)的复杂度。

容易看出，前面的几类复杂度被分为两种级别，其中后者的复杂度无论如何都远远大于前者：

一种是O(1),O(log(n)),O(n^a)等，我们把它叫做多项式级的复杂度，因为它的规模n出现在底数的位置；

另一种是O(aⁿ)和O(n!)型复杂度，它是非多项式级的，其复杂度计算机往往不能承受。

当我们在解决一个问题时，我们选择的算法通常都需要是多项式级的复杂度，非多项式级的复杂度需要的时间太多，往往会超时，除非是数据规模非常小。

多项式时间

来源：沈万马

什么是多项式？

 对于变量n，5n²+2n+1这种就叫做多项式。前面再加上n³甚至一路增加到n^m，只要m是个常量，就都是多项式。因为这样的式子合并同类项什么的简化到最后还是会有好几个含n的项，所以叫做多项式。

什么是问题大小？

我们要解决一个问题，这个问题里面有n个“东西”要处理，这个问题的大小就是n。比方说，我们要把5、7、9这三个数字排序，问题大小就是3。我们要把全世界人类里面的男的找出来，问题大小就是全世界人口数。

什么是多项式倍数？

这个倍数是指，对于一个变量n，有这样一个倍数，它的值是n的一个多项式。比方说，我们假设n=5，那么n²+10=5²+10=35，这个35就是n的一个多项式倍数。因为对于n有无限多种多项式组合，所以它也就有无穷多个多项式倍数。

多项式时间

多项式倍数之所以特殊，主要是由于其值随n增大而加速增大的特性。如果是常数时间的话，意思就是无论n是什么值运算所花时间都一样。线性时间则是说多大n就花多少时间。多项式时间则意味着随着n增大，n每增加1所花的时间增长越来越多。对于n²-3这样一个多项式时间来说，n=2的时候可能只要花1的时间，甚至低于线性时间，但n=4的时候可能就要花13的时间了，可以想象再大一些这个数值会变得巨大。但是它又不及指数时间增长快(mⁿ)，且mⁿ不能写成多项式形式，所以它又和多项式时间有区别。

而且，这个增长变速的特性是不受参数限制的。也就是说，无论你把m*n²的m这个常量改成多么微小的一个值，总有一个n让这个多项式的值大于n，也就是说到这一刻多项式时间的算法耗时高于了线性时间的算法，之后耗时差距一定会越来越大。这一特性是多项式本身的性质决定的。类似，指数级时间也是如此，无论你将n的一个多项式中的所有常量设置到多大，总有一个n的指数值大于多项式值。

所以我们说指数时间大于多项式时间，多项式时间大于线性时间，线性时间大于常数时间，一定要注意这些大于并不是对于所有n的所有情况成立的，只是在说随着n增加前者一定超过后者。

不可解问题

会不会所有的问题都可以找到复杂度为多项式级的算法呢？很遗憾，答案是否定的。有些问题甚至根本不可能找到一个正确的算法来，这称之为“不可解问题”(Undecidable Decision Problem)。The Halting Problem就是一个著名的不可解问题

P类问题

如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于P问题。P是英文单词多项式的第一个字母

NP问题

NP问题不是非P类问题。NP问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题。NP问题的另一个定义是，可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。

换句话说，就是在解决一个问题时，找一个解很困难，而验证（猜测）一个解很容易。

所有的P类问题都是NP问题，也就是说，能多项式地解决一个问题，必然能多项式地验证一个问题的解

NPC问题

人们普遍认为，P=NP不成立，也就是说，多数人相信，存在至少一个不可能有多项式级复杂度的算法的NP问题。

人们如此坚信P≠NP是有原因的，就是在研究NP问题的过程中找出了一类非常特殊的NP问题叫做NP-完全问题，也即所谓的 NPC问题。C是英文单词“完全”的第一个字母。正是NPC问题的存在，使人们相信P≠NP

约化/规约

简单地说，一个问题A可以约化为问题B的含义即是，可以用问题B的解法解决问题A，或者说，问题A可以“变成”问题B

《算法导论》上举了这么一个例子。比如说，现在有两个问题：求解一个一元一次方程和求解一个一元二次方程。那么我们说，前者可以约化为后者，意即知道如何解一个一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。我们可以写出两个程序分别对应两个问题，那么我们能找到一个“规则”，按照这个规则把解一元一次方程程序的输入数据变一下，用在解一元二次方程的程序上，两个程序总能得到一样的结果。这个规则即是：两个方程的对应项系数不变，一元二次方程的二次项系数为0。按照这个规则把前一个问题转换成后一个问题，两个问题就等价了

“问题A可约化为问题B”有一个重要的直观意义：B的时间复杂度高于或者等于A的时间复杂度。也就是说，问题A不比问题B难。这很容易理解。既然问题A能用问题B来解决，倘若B的时间复杂度比A的时间复杂度还低了，那A的算法就可以改进为B的算法，两者的时间复杂度还是相同。正如解一元二次方程比解一元一次方程难，因为解决前者的方法可以用来解决后者。
很显然，约化具有一项重要的性质：约化具有传递性。如果问题A可约化为问题B，问题B可约化为问题C，则问题A一定可约化为问题C。

从约化的定义中我们看到，一个问题约化为另一个问题，时间复杂度增加了，问题的应用范围也增大了。通过对某些问题的不断约化，我们能够不断寻找复杂度更高，但应用范围更广的算法来代替复杂度虽然低，但只能用于很小的一类问题的算法。

再回想前面讲的P和NP问题，联想起约化的传递性，自然地，我们会想问，如果不断地约化上去，不断找到能“通吃”若干小NP问题的一个稍复杂的大NP问题，那么最后是否有可能找到一个时间复杂度最高，并且能“通吃”所有的 NP问题的这样一个超级NP问题？答案居然是肯定的。也就是说，存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以约化成它。换句话说，只要解决了这个问题，那么所有的NP问题都解决了。这种问题的存在难以置信，并且更加不可思议的是，这种问题不只一个，它有很多个，它是一类问题。这一类问题就是传说中的NPC 问题，也就是NP-完全问题。

---

NPC问题的定义非常简单。同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题：

首先，它得是一个NP问题；

然后，所有的NP问题都可以约化到它。

证明一个问题是 NPC问题也很简单。先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它（由约化的传递性，则NPC问题定义的第二条也得以满足），这样就可以说它是NPC问题了。既然所有的NP问题都能约化成NPC问题，那么只要任意一个NPC问题找到了一个多项式的算法，那么所有的NP问题都能用这个算法解决了，NP也就等于P 了。