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一．反向传播算法简介
二．前馈计算的过程
- 第一层隐藏层的计算
- 第二层隐藏层的计算
- 输出层的计算
- 计算偏导数
一．反向传播算法
反向传播算法[1]（Backpropagation Algorithm，简称BP算法）是深度学习的重要思想基础，对于初学者来说也是必须要掌握的基础知识，在这一小节里，我们会较为详细的介绍这一重点知识。
我们使用一个如图1所示的神经网络，该图所示是一个三层神经网络，两层隐藏层和一层输出层，输入层有两个神经元，接收输入样本 ， 为网络的输出。
图1 一个三层神经网络
二．前馈计算的过程为了理解神经网络的运算过程，我们需要先搞清楚前馈计算，即数据沿着神经网络前向传播的计算过程，以图1所示的网络为例：
输入的样本为：
第一层网络的参数为：
第二层网络的参数为：
第三层网络的参数为：
- 第一层隐藏层的计算
图2 计算第一层隐藏层
第一层隐藏层有三个神经元：neu1 、neu2 和neu3 。该层的输入为：
以 neu1神经元为例，则其输入为：
同理有：
假设我们选择函数 作为该层的激活函数（图1中的激活函数都标了一个下标，一般情况下，同一层的激活函数都是一样的，不同层可以选择不同的激活函数），那么该层的输出为： f1(z1)、f2(z2) 和f3(z3) 。
·第二层隐藏层的计算
图3 计算第二层隐藏层
第二层隐藏层有两个神经元：neu4 和neu5 。该层的输入为：
即第二层的输入是第一层的输出乘以第二层的权重，再加上第二层的偏置。因此得到 和 的输入分别为：
该层的输出分别为： f4(z4)和f5(z5) 。
- 输出层的计算
图4 计算输出层
输出层只有一个神经元：neu6 。该层的输入为：
即：
因为该网络要解决的是一个二分类问题，所以输出层的激活函数也可以使用一个Sigmoid型函数，神经网络最后的输出为： f6(z6)。
三．反向传播的计算
上一小节里我们已经了解了数据沿着神经网络前向传播的过程，这一节我们来介绍更重要的反向传播的计算过程。假设我们使用随机梯度下降的方式来学习神经网络的参数，损失函数定义为 ，其中 是该样本的真实类标。使用梯度下降进行参数的学习，我们必须计算出损失函数关于神经网络中各层参数（权重w和偏置b）的偏导数。
下面是基于随机梯度下降更新参数的反向传播算法：
输入：训练集：D={(xi,yi)}, i=1,2,…,N
学习率：γ
训练回合数（epoch）：T
初始化网络各层参数w(t) 和b(t)
for t=1 …T do
打乱训练集中样本的顺序
for i=1… N do
(1)获取一个训练样本，前馈计算每一层的输入 和输出
(2)利用公式*反向传播计算每一层的误差项
(3)利用公式和公式*计算每一层参数的导数
(4)更新参数：
以上是BP算法的介绍，下次文章中有一个BP算法计算的完整示例，希望加深理解的读者可以跟着示例计算一遍。
四．参考文献
[1]. Learing representations by back-propagating erros.David E.Rumelhart,Geoffrey E.Hinton,Ronald J.Williams