【统计学】6.统计量及其抽样分布

【统计学】6.统计量及其抽样分布

6.1 统计量

6.2 抽样分布

6.3 样本均值的分布与中心极限定理

6.4 由正态分布导出的几个重要分布

学习目标

1.了解统计量及其分布的几个概念

2.了解由正态分布导出的几个重要分布

3.理解样本均值的分布与中心极限定理

4.掌握单样本比例和样本方差的抽样分布

6.1 统计量

6.1.1 统计量的概念

统计量（statistic）

1. 设

[X_1,X_2,...,X_n ]

是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由次样本构造一个函数

[T(X_1,X_2,...,X_n) ]

不依赖于任何未知参数，则称函数

[T(X_1,X_2,...,X_n) ]

是一个统计量

样本均值、样本比例、样本方差等都是统计量

2. 统计量是样本的一个函数
3. 统计量是统计推断的基础

6.1.2 常用统计量

(1)样本均值

[overline X = frac{1}{n}sum^n_{i=1}X_i ]

(2)样本方差

[S^2 = frac{1}{n-1}sum^n_{i=1}(X_i-overline X)^2 ]

(3)样本变异系数

[V = S sqrt{X} ]

(4)k阶矩

[m_k = frac{1}{n}sum^n_{i=1}X^k_i ]

(5)k阶中心矩

[v_k = frac{1}{n-1}sum^n_{i=1}(X_i-overline X)^k ]

(6)样本偏度

[alpha_3 =frac{ sqrt{n-1}sum^n_{i=1}(X_i-overline X)^3}{sum^n_{i=1}(X_i-overline X)^{frac{3}{2}}} ]

(7)样本峰度

[alpha_4 = frac{n-1sum^n_{i=1}(X_i-overline X)^4}{[sum^n_{i=1}(X_i-overline X)^2]^2}-3 ]

6.2 抽样分布（sampling distribution）

1. 样本统计量的概率分布，是一种理论分布
   1. 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布
2. 随机变量是样本统计量
   1. 样本均值、样本比例、样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据

6.3 样本均值的分布与中心极限定理

样本均值的抽样分布

1. 在重复容量为n的样本时，由样本均值的多有可能取值形成的相对频数分布
2. 一种概率分布
3. 推断总体均值μ的理论基础

当总体服从正态分布

[N(mu,sigma^2) ]

来自该总体的所有容量为n的样本的均值

[overline x ]

也服从正态分布，

[overline x ]

的数学期望为

[mu ]

方差为

[frac{sigma^2}{n} ]

即

[overline x acksim N(mu,frac{sigma^2}{n}) ]

中心极限定理(central limit theorem)

从均值为μ，方差为

[sigma^2 ]

的任意一个总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ，方差为

[frac{sigma^2}{n} ]

的正态分布

6.4 由正态分布推导出来的几个重要分布

卡方分布

1. 有阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Person)分别于1875年和1900年推导出来

2. 设

   [X acksim N(mu,sigma^2) ]

   则

   [z = frac{X-mu}{sigma} acksim N(0,1) ]

3. 令

   [Y = z^2 ]

   则Y服从自由度为1的卡方分布，即

   [Y acksim chi^2(1) ]

4. 当总体

   [X acksim N(mu,sigma^2) ]

   从中抽取容量为n的样本，则

   [frac{sum^2_{i=1}(x_i-overline x)^2}{sigma^2} acksim chi^2(n-1) ]

卡方分布的性质和特点

1. 分布的变量始终为正
2. 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称
3. 期望为

[E(chi^2) = n ]

方差为

[D(chi^2) = 2n ]

其中n为自由度

4. 可加性：若U和v为两个独立的卡方分布随机变量，

[U acksim chi^2(n_1),V acksim chi^2(n_2) ]

则

[U+V ]

这一随机变量服从自由度为

[n_1+n_2 ]

的卡方分布

t分布

1. 高赛特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以"student"为笔名的论文中首次提出
2. t 分布式类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散
3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布

F分布

1. 由统计学家费希尔（R.A.Fisher）提出的，以其姓氏的第一个字母来命名

2. 设若U为服从自由度为n1的卡方分布，即

   [U acksim chi^2(n_1) ]

   V为服从自由度为n2的卡方分布，即

   [V acksim chi^2(n_2) ]

   且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为

   [F = frac{frac{U}{n_1}}{frac{V}{n_2}} ]
   [F acksim F(n_1,n_2) ]

   

例题

例题 1

设从一个均值μ=10，标准差sigma=0.6的总体中随机选取容量n=36的样本。假定该总体不是很偏，要求：

1. 样本均值小于9.9的近似概率

   n=36说明是大样本，则该样本均值是满足

   [overline x acksim N(10,frac{0.6^2}{36}) = N(mu,sigma^2) \ mu = 10 ,sigma = 0.1 ]

   先进行标准化

   [P(overline x <9.9) = P(frac{overline x -10}{0.1}<frac{9.9-10}{0.1}) \ phi(-1) = 1- phi(1) = 1-0.8413 = 0.1587 ]

2. 样本均值超过9.9的近似概率

[P(overline x >9.9) = P(Z>-1) = phi(1) = 0.8413 ]

3. 样本均值在总体均值10附近0.1范围的概率

[P(9.9< overline x <10.1) = P(-1<Z<1) = 2phi(1) -1 = 0.6826 ]

例题2

某汽车电瓶生产商称其生产的电瓶均有均值为60个月，标准差为6个月的寿命分布。现假设质检部门决定检验该厂的说法是否正确，为此随机抽取了50个该厂生产的电瓶进行寿命试验

1. 假定厂方声称是正确的，试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布

   [overline X acksim N(60,frac{36}{50}) ]

2. 假定厂方声称是正确的，试描述50个样本组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率

[P(overline X leq 57) = P(frac{overline X -60}{sqrt{0.72} }leq frac{57-60}{sqrt{0.72}}) \= 1 - phi(3.529) = 1-0.9998 = 0.0002 ]

例题3

[Z_1,Z_2,...Z_6 ]

表示从标准正态总体中随机抽取的容量为n=6的一个样本，试确定常数b，使得，

[P(sum^6_{i=1}Z^2_i leq b) = 0.95 ]

这是一个小样本，总体服从正态分布则

[Z_i acksim N(0,1) ]

[P(chi^2_{6} leq b) = 0.95 \ P(chi^2_{6} > b) = 0.05 \ b = 12.592 ]