并查集

这两天又重新看了一下有关并查集的题目，相关的可以参考大牛的博客

http://hi.baidu.com/czyuan_acm/blog/item/531c07afdc7d6fc57cd92ab1.html

以下是自己的一点总结。

数据结构——并查集的应用

并查集是一种简单的数据结构，相对于其他数据结构来说，编程难度很小，也很灵活，适当的find函数与Union函数便可以解决很多问题。

int find(int x)

{

    if(x==parent[x])  return x;

    returnparent[x]=find(parent[x]);

}

void Union(int a,int b)

{

    intpa=find(a);

    intpb=find(b);

    if(pa!=pb) parent[pa]=pb;

}

并查集的应用：

并和查有关的集合操作

并查集可以用于相关的集合操作，如判定一个无向图是否有环，输出一个无向图的连通分量个数，kruscal最小生成树的操作。一些基于集合，有添加其它性质的集合操作。

例题：

TOJ2469 Friends

题目描述：有n个人，m对朋友关系，朋友关系对称且可传递，求有几个朋友圈。

分析：事实上是求一个无向图的连通分量数，并查集轻松搞定。

TOJ3294 Building Blcok

题目描述：一开始有n个Block，分别放置在地面上，有P个操作，操作有两种类型：

M a b如果a，b没有在一个Block组里，把包含a Block的Block组放在包含b的Block组之上。

C a 输出有多少个Block被压在了a之下。

分析：定义parent同并查集的一般操作，cnt表示有多少块Block[x]被压在x之下，size[x]表示以x为根的Block组一共有多少个Block.

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 30030
int par[MAX],cnt[MAX],size[MAX];

void init(int n)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        par[i]=i;
        cnt[i]=0;
        size[i]=1;
    }
}
int find(int x)
{
    if(x==par[x])    return x;
    int tmp=par[x];
    par[x]=find(par[x]);
    cnt[x]+=cnt[tmp];
    return par[x];
}

void Union(int a,int b,int pa,int pb)
{
    par[pa]=pb;
    cnt[pa]+=size[pb];
    size[pb]+=size[pa];
}

int main()
{
    int n,a,b,pa,pb;
    char move[10];
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        init(MAX);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%s",move);
            if(move[0]=='M')
            {
                scanf("%d%d",&a,&b);
                pa=find(a);
                pb=find(b);
                if(pa!=pb)    Union(a,b,pa,pb);
            }
            else if(move[0]=='C')
            {
                scanf("%d",&a);
                find(a);
                printf("%d ",cnt[a]);
            }
        }
    }
    return 0;
}

TOJ3732 Dragon Balls

题目描述：悟空在寻找龙珠，一共有n个龙珠，m条操作。操作有两种。

T a b 表示把a龙珠所在的城里的所有龙珠运到b所在的城里

Q a 表示对a的询问，要求输出x a所在的城， y a所在的城里一共有多少个龙珠， z a经过几次到达现在所在的城的。

分析：定义parent同并查集的一般操作，step表示经过几步到达现在所在的城，size表示该城里的龙珠数。

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 10010
int par[MAX],step[MAX],size[MAX];

void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        par[i]=i;
        step[i]=0;
        size[i]=1;
    }
}

int find(int x)
{
    if(x==par[x])    return x;
    int tmp=par[x];
    par[x]=find(tmp);
    step[x]+=step[tmp];
    return par[x];
}

void Union(int a,int b)
{
    int pa=find(a);
    int pb=find(b);
    par[pa]=pb;
    size[pb]+=size[pa];
    step[pa]++;
}

int main()
{
    int T,n,m,a,b,t=1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        printf("Case %d: ",t++);
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init(n);
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            char move;
            getchar();
            move=getchar();
            if(move=='T')
            {
                scanf("%d%d",&a,&b);
                Union(a,b);
            }
            else
            {
                scanf("%d",&a);
                int pa=find(a);
                printf("%d %d %d ",pa,size[pa],step[a]);
            }
        }
    }
    return 0;   
}

 

种类相关并查集操作

    题目中出现的元素分为一些种类，描述中会给出相关的描述信息，判断描述的正确性，即是否有悖于之前对这些元素种类的描述。一般可以增加一个kind属性来表示元素的种类。

例题：

POJ1182 食物链

题目大意：有A，B，C三种动物A吃B，B吃C，C吃A。有两种描述：

1 a b表示a与b是同类

2 a b 表示a吃b

判断有多少句假话（假话题目中有定义，主要是判断是否与之前的描述相悖）

分析：增加属性kind，kind[x]=0,表示与根同类，kind[x]=1,表示吃根，kind[x]=2表示被根吃。

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 50050
int par[MAX],rel[MAX];

void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        par[i]=i;
        rel[i]=0;
    }
}

int find(int x)
{
    if(par[x]==x)    return x;
    int tmp=par[x];
    par[x]=find(tmp);
    rel[x]=(rel[tmp]+rel[x])%3;
    return par[x];
}

void union_set(int x,int y,int px,int py,int d)
{
    par[px]=py;
    rel[px]=(rel[y]-rel[x]+2+d)%3;
}

int main()
{
    int T,n,m,a,b,pa,pb,k,r;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    {
        init(n);
        r=0;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&k,&a,&b);
            if(a>n||b>n)    {    r++;    continue;}
            if(k==2&&a==b)    {    r++;    continue;}
            pa=find(a);
            pb=find(b);
            if(pa==pb)
            {
                if((rel[b]+k+2)%3!=rel[a])    r++;
            }
            else    union_set(a,b,pa,pb,k);
        }
        printf("%d ",r);
    }
}

TOJ1706 A Bug’s life

题目大意：给出n个点m条边（无向边），寻找是否有奇环。可用bfs或者dfs黑白染色，用并查集则是顶点种类为2.kind[x]=0表示与根同色，kind[x]=1表示与根异色。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 2050
int par[MAX],rel[MAX];

void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        par[i]=i;
        rel[i]=0;
    }
}

int find(int x)
{
    if(par[x]==x)    return x;
    int tmp=par[x];
    par[x]=find(tmp);
    rel[x]^=rel[tmp];
    return par[x];
}

void union_set(int x,int y,int px,int py)
{
    par[py]=px;
    rel[py]=(rel[y]==rel[x]);
}

int main()
{
    int T,n,m,a,b,pa,pb,r;
    scanf("%d",&T);
    for(int t=1;t<=T;t++)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init(n);
        r=0;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(!r)
            {
                pa=find(a);
                pb=find(b);
                if(pa==pb)    r=(rel[a]==rel[b]);
                else    union_set(a,b,pa,pb);
            }
        }
        printf("Scenario #%d: ",t);
        printf("%s bugs found! ",r?"Suspicious":"No suspicious");
    }
}

POJ1733 Parity Game

题目大意：有长度为n的0，1串，给出描述，a b even or a b odd表示a b区间1的个数的奇偶性，判断前多少条描述是成立的。

分析：设属性sum，区间a b的1的个数的奇偶性，与sum[b]和sum[a-1]的奇偶性相同，即若a b even表示sum[b]，sum[a-1]同奇偶，否则异奇偶。sum[x]=0,表示与根同奇偶，sum[x]=1表示与根异奇偶。由于该题区间范围过大，需要离散化。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 5010
int par[2*MAX],rel[2*MAX],ind[2*MAX];
struct node
{
    int s,e;
    bool Isodd;
}query[MAX];
map<int ,int>M;

void init(int n)
{
    M.clear();
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        par[i]=i;
        rel[i]=0;
    }
}

int find(int x)
{
    if(x==par[x])    return x;
    int tmp=par[x];
    par[x]=find(tmp);
    rel[x]^=rel[tmp];
    return par[x];
}

void union_set(int a,int b,int pa,int pb,int d)
{
    par[pb]=pa;
    rel[pb]=rel[b]^rel[a]^d;
}

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    {
        int a,b,pa,pb,i;
        char str[10];
        init(2*m);
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%s",&a,&b,str);
            b++;
            query[i].s=a;
            query[i].e=b;
            query[i].Isodd=(str[0]=='o');
            ind[i<<1]=a;
            ind[i<<1|1]=b;
        }
        sort(ind,ind+2*m);
        for(i=0;i<2*m;i++)
            M[ind[i]]=i+1;
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            a=M[query[i].s];
            b=M[query[i].e];
            pa=find(a);
            pb=find(b);
            if(pa==pb)
            {
                if((rel[a]^rel[b])!=query[i].Isodd)    break;
            }
            else union_set(a,b,pa,pb,query[i].Isodd);
        }
        printf("%d ",i);
    }
    return 0;
}

TOJ3413 How Many Answers Are Wrong

题目大意：上题的强化版给出任意的n个数，和m条描述，描述为 a b c即a到b的和c，判断有多少条描述是错误的。

分析：设属性sum，a b c表示sum[b]-sum[a-1]=c,sum[x]表示x与x所在集合的根的差。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 200010
int par[MAX],rel[MAX];

void init(int n)
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        par[i]=i;
        rel[i]=0;
    }
}

int find(int x)
{
    if(x==par[x])    return x;
    int tmp=par[x];
    par[x]=find(tmp);
    rel[x]+=rel[tmp];
    return par[x];
}

void union_set(int a,int b,int pa,int pb,int d)
{
    par[pb]=pa;
    rel[pb]=rel[a]-rel[b]+d;
}

int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        int a,b,pa,pb,d,r=0;
        init(n);
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
            a--;
            pa=find(a);
            pb=find(b);
            if(pa==pb)
            {
                if(rel[b]-rel[a]!=d)    r++;
            }
            else union_set(a,b,pa,pb,d);
        }
        printf("%d ",r);
    }
    return 0;
}

注：上述所述的属性，都是其与根的关系，在每次合并之后，只需要先修改一下集合根的属性值，该集合中其它元素的属性值可以在find函数中修改。

用于优化

并查集更多地应用于dp或者贪心中的优化，用来降低复杂度。

例题：

TOJ1681 Supermarket

题目大意：有n件物品，每件物品有两个属性，p和d，表示在第d天之前将该物品卖出可以获得p的收益，假设一天至多能卖一件货物。问最多能获得的收益值。

分析：思想贪心。对货物按收益值进行排序，优先安排出售获益大的商品，对于每件商品可以把它安排在可以安排的最晚的那一天，即d之前的最晚的一天。如果直接暴力，则对于每件货物都需要从d天到第一天进行搜索，找出没有被安排的一天。时间复杂度O(nK),K是d的复杂度。考虑使用并查集优化，定义parent表示在d之前的可用时间（即题目中需要搜索出的时间）。对于每件货物设b=find(d),若b>0则该物品可安排，进行Union（b，b-1）的合并（b应该合并到b-1上），否则该货物无法安排

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 10010
#define MP make_pair
 
int par[MAX];

void init(int n)
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
        par[i]=i;
}

int find(int x)
{
    if(x==par[x])    return x;
    return par[x]=find(par[x]);
}

void union_set(int a,int b){    par[a]=b;}

vector<pair<int,int> > task;

int main()
{
    int n,a,b,mx;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        task.clear();
        mx=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            task.push_back(MP(a,b));
            if(b>mx)    mx=b;
        }
        sort(task.begin(),task.end());
        init(mx);
        int ans=0;
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
        {
            b=find(task[i].second);
            if(b>0)
            {
                ans+=task[i].first;
                union_set(b,b-1);
            }
        }
        printf("%d ",ans);
    }
    return 0;
}

反向进行并查集操作

与并查集不同，给出一个图中原有的一些边，然后给出操作，操作不是向图中添加边，而是在已有的边上，将边删除。对于该种情况，需要把首先读入所有操作，把要求删除的边全部删除，再按照从后往前的顺序处理操作，这样删边操作又重新转化为了添边的操作。

例题：

ZOJ3261 Connections in Galaxy War

题目大意：有n个卫星，每个卫星有一个power值，初始时这些卫星之间有若干条边，有两种操作一种是删边，另一种是查询，查询卫星a，即要求找出与卫星a直接或间接相连的卫星中power值大于该卫星的拥有最大power值的卫星，若两卫星power值相同且最大输出编号小的那个。

分析：按上述方法，先删边，再反向处理操作，注意该题优先级的描述，再Union中要分类处理。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <set>
using namespace std;
#define MAXN 10010
#define MAXM 50010

int query[MAXM][2];
int par[MAXN],power[MAXN];
int ans[MAXM];
set<int> g[MAXN];

void init(int n)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        par[i]=i;
        g[i].clear();
        scanf("%d",&power[i]);
    }
}

int find(int x)
{
    if(x==par[x])    return x;
    return par[x]=find(par[x]);
}

void Union(int a,int b)
{
   
    int pa=find(a);
    int pb=find(b);
    if(power[pa]<power[pb])    par[pa]=pb;
    else if(power[pa]>power[pb])    par[pb]=pa;
    else
    {
        if(pa<pb)    par[pb]=pa;
        else par[pa]=pb;
    }

}

int main()
{
    int n,m,q,b=0;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(b)    printf(" ");
        b=1;
        init(n);
        scanf("%d",&m);
        int a,b;
        char str[20];
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            if(a>b)    swap(a,b);
            g[a].insert(b);
        }
        scanf("%d",&q);
        for(int i=0;i<q;i++)
        {
            scanf("%s",str);
            if(str[0]=='d')
            {
                scanf("%d%d",&a,&b);
                if(a>b)    swap(a,b);
                query[i][0]=a;    query[i][1]=b;
                g[a].erase(g[a].find(b));
            }
            else
            {
                scanf("%d",&a);
                query[i][0]=a;    query[i][1]=-1;
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(set<int>::iterator it=g[i].begin();it!=g[i].end();it++)
                Union(i,*it);
        }
        int cnt=0;
        for(int i=q-1;i>=0;i--)
        {
            if(query[i][1]==-1)
            {
                int tmp=find(query[i][0]);
                if(power[tmp]==power[query[i][0]])    ans[cnt++]=-1;
                else    ans[cnt++]=tmp;
            }
            else    Union(query[i][0],query[i][1]);
        }
        for(int i=cnt-1;i>=0;i--)
        printf("%d ",ans[i]);
    }
}