生成函数练习小结

传送阵 Matrix67大神的总结：跟着大神学，也不喜欢叫母函数，都称生成函数。

在数学中，某个序列 的生成函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用生成函数解决问题的方法称为母函数方法。
生成函数可分为很多种，包括普通生成函数、指数生成函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个生成函数。构造生成函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种生成函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
生成函数的表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x的值都存在。

具体我就不多说了，Matrix67大神blog里说得很好，我就直接上题了。

HDU1085 Holding Bin-Laden Captive!

生成函数的简单题，分别有1,2,5面值的货币q1,q2,q3个，让你求出最小不能由提供的货币组成的数值。由于此题很简单，只考虑了两种情况就行了。

Y=(1+x^2+x^3+x^4…+x^q1*1)*(1+x^2+x^4+x^6…x^q2*2)*(1+x^5+x^10+…x^q3*5)(这是母函数公式)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
#define N 1000000007
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
int main()
{
    int x,y,z,sum;
    while(1)
    {
        RD(x);
        RD(y);
        RD(z);
        if(x==0&&y==0&&z==0)
        {
            break;
        }
        if(x==0)
        {
            sum=1;
        }
        else if(x+2*y<4)
        {
            sum=x+2*y+1;
        }
        else
        {
            sum=x+2*y+5*z+1;
        }
        printf("%d
",sum);
    }
    return 0;
}

HDU1171 Big Event in HDU 

这是一道典型的生成函数题型，不过也可以用dp做，题意是给出n个不同价值vi的物品，且物品数量为ci，让你将总的价值分为最相近的两部分，且价值不同的话，价值大的在前。这就是一个生成函数模板题，建立c1[]、c2[]，然后得到系数项，从中间找非空项就行了。但是，这题的恶心之处超乎你想象，首先是判跳出，注意是n<0而不是n==-1，然后是数据范围，5000绝对不够，请开到100001,。已wa出翔。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
#define N 1000000007
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
int c1[100001],c2[100001],num[51],val[51];
int main()
{
    int n,i,j,k,sum,ans;
    while(scanf("%d",&n))
    {
        if(n<0)
        {
            break;
        }
        sum=0;
        FOR(1,n,i)//生成函数模板做法
        {
            scanf("%d%d",&val[i],&num[i]);
            sum+=num[i]*val[i];
        }
        ans=sum;
        sum/=2;
        mem(c1,0);
        mem(c2,0);
        c1[0]=1;
        FOR(1,n,i)
        {
            FOR(0,sum,j)
            {
                for(k=0;k<=num[i]*val[i]&&k+j<=sum;k+=val[i])//也有许多变形，要活学活用
                {
                    c2[j+k]+=c1[j];
                }
            }
            FOR(0,sum,j)
            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        for(i=sum;i>0;--i)//这里操作一般由题目要求什么决定
        {
            if(c1[i]!=0)
            {
                break;
            }
        }
        printf("%d %d
",ans-i,i);
    }
    return 0;
}

HDU1059 Dividing
首先这题并不算是一个可以用生成函数过题，应该是一个完全背包+二进制转化的题目，但是由于数据较水，进行一些取模运算就可以用生成函数模板运算过了，建议当做模板练手题，然后再用完全背包再过一遍。题意就是问1~6价值的硬币分别有a1~a6个，问能否分为相等的两部分。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
#define N 1000000007
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
int a[7];
int c1[20001];
int main()
{
    int i,j,k,sum,ans,f,cas=0;
    while(1)
    {
        cas++;
        f=0;
        sum=0;
        FOR(1,6,i)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            if(a[i]==0)
            {
                f++;
            }
            a[i]%=10;//这个模10很神奇，缩小了数据量（但估计是数据水了）
            sum+=a[i]*i;
        }
        if(f==6)
        {
            break;
        }
        ans=sum;
        printf("Collection #%d:
",cas);
        if(ans%2==1)//奇数肯定不能被2整除
        {
            printf("Can't be divided.
");
        }
        else
        {
            sum/=2;
            mem(c1,0);
            c1[0]=1;
            FOR(1,6,i)
            {
                for(j=sum;j>=0;--j)
                {
                    for(k=1; k<=a[i]&&k*i+j<=sum; k++)//变形
                    {
                        c1[j+k*i]|=c1[j];
                    }
                }
            }
            if(c1[sum]!=0)
            {
                printf("Can be divided.
");
            }
            else
            {
                printf("Can't be divided.
");
            }
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}

HDU1398 Square Coins

这也算是一道生成函数的好题，一种与完全平方数的结合。题意很简单，给你一个n，问你n可以由完全平方数组成的方案数。

Y=(1+x+x^2+...+x^n)*(1+x^2+x^4+...)*...

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
#define N 1000000007
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
int c1[301],c2[301];
int main()
{
    int n,i,j,k;
    while(1)
    {
        RD(n);
        if(n==0)
        {
            break;
        }
        FOR(0,n,i)
        {
            c1[i]=1;
            c2[i]=0;
        }
        for(i=2;i*i<=n;++i)//这就是为完全平方数做的准备
        {
            FOR(0,n,j)
            {
                for(k=0;k+j<=n;k+=i*i)//这里的处理，要根据情况不同变换
                {
                    c2[k+j]+=c1[j];
                }
            }
            FOR(0,n,j)
            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        printf("%d
",c1[n]);
    }
    return 0;
}

HDU1028也是一道生成函数可以解决的题目，但我用五角数公式过了，就不深入了，可以作为练手。

POJ3734 Blocks

不得不说poj的这道生成函数相比上面的模板套用，模板变形题要有深度。这题可以用矩阵乘做，但今天是生成函数专题，就不像昨天那样了。这题题意是可以用红蓝绿黄四种

给模块涂色，且要求红色与绿色的模块数必须为偶数。生成函数本来就可以解决组合数学的问题，所以这题再合适不过了。

根据生成函数公式我们可以得到这样一个式子：Y=[(1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!...)^2]*[(1+x^2/2!+x^4/4!+...)^2]

这个式子里乘号前是蓝色和黄色的方案，乘号后是红色与绿色的方案。由于是求组合数，颜色相同时前后放置为同一种情况，所以需要除以排列数。

推导过程：

Y==>(由泰勒展式)1/4*e^2x*(e^x+e^(-x))^2==>1/4*(e^4x+2e^2x+1)==>(逆推导)1/4*sigma(4^i+2*2^i)*x^i

所以系数就是1/4(4^n+2*2^n)==>(4^(n-1)+2^(n-1))，这样就是可以直接用快速幂取模得到。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
#define N 10007
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
__int64 p(__int64 x,__int64 y)//快速幂取模
{
    __int64 res=1;
    while(y>0)
    {
        if(y%2==1)
        {
            res=(res*x)%N;
        }
        x=(x*x)%N;
        y/=2;
    }
    return res%N;
}
int main()
{
    int t,n;
    __int64 sum;
    RD(t);
    while(t--)
    {
        RD(n);
        sum=(p(4,n-1)+p(2,n-1))%N;
        printf("%I64d
",sum);
    }
    return 0;
}

POJ2084 Game of Connections

卡特兰数，由于通项公式可由生成函数得到，所以也发一道。。。

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1]：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式[2]：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

这题是道高精度，直接java搞了，没难度。

import java.io.*;  
import java.math.*;  
import java.util.*;  
import java.text.*;  
public class Main  
{  
    public static void main(String[] args)  
    {  
        Scanner cin=new Scanner(System.in);  
        BigInteger sum,ans;  
        int n,i;  
        while(true)  
        {  
            n=cin.nextInt(); 
            if(n==-1)
            {
                break;
            }
            sum=BigInteger.ONE;
            ans=BigInteger.ONE;
            for(i=1;i<=n;++i)
            {
                sum=sum.multiply(BigInteger.valueOf(i));
                ans=ans.multiply(BigInteger.valueOf(2*n-i+1));
            }
            ans=ans.divide(sum);
            ans=ans.divide(BigInteger.valueOf(n+1));
            System.out.println(ans);  
        }  
    }  
}