zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 最优化方法在图像处理中的应用【4】

    今天我想理解下正定矩阵!

    因为这个矩阵在convex optimization 老是出现~

    我们只考虑正定矩阵的原始定义,不考虑某些人对他的扩展。

    In linear algebra, a symmetric n × n real matrix M is said to be positive definite if z^TMz is positive for any non-zero column vector z of n real numbers. Here z^T denotes the transpose of z.

    因此,正定矩阵是 对称的、方阵,这里说的是实矩阵,可以扩展到复数矩阵,只是把转置换成共轭转置,并且要求那个二次型结果是实数就可以了。


    讨论A^TA这种矩阵~

    首先这个矩阵是对称矩阵,不管A是什么矩阵,甚至退化成向量,这个矩阵都是对称矩阵,不存在任何例外

    他一定是半正定矩阵:

    任意给定一个非零向量z,那么z^TA^TAz = (Az)^T(Az),显然这个结果是非负的!

    那什么情况下这种矩阵是正定矩阵呢?什么情况下他是半正定矩阵,并且不是正定矩阵呢?

    我们讨论下什么情况下这个二次型等于零。我们从A本身讨论,

    如果(Az)^T(Az)=0 <=> Az是零向量

    Az = z1A1 + z2A2 + ... + znAn. 这里假设A有n列,n可以取任何正整数,Ai表示矩阵A的第i列,zi表示z的第i个分量。我们可以把这个式子看成是A的列向量的线性组合,因为z非零,所以,当且仅当A的列向量线性相关的时候Az才有可能为零,如果他们线性无关,那么一定存在一个非零的z,使得Az=0。也就是说A^TA是否为正定矩阵,与A的秩是否等于列数是等价的。

    如果A的列向量线性无关,那么A^TA为正定矩阵。

    如果A的列向量线性相关,那么A^TA为半正定矩阵。



  • 相关阅读:
    css3的clip-path方法剪裁实现
    vue-cli3.0之vue.config.js的配置项(注解)
    用Canvas实现一些简单的图片滤镜
    转《图像处理之表面滤波》
    vue-axios的application/x-www-form-urlencod的post请求无法解析参数
    如何在linux中执行一个脚本
    列表、字典、元组小练习
    开发脚本自动部署及监控
    固化命令的方式、sed文本处理工具
    nginx服务、nginx反向代理和nfs共享服务
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/pangblog/p/3327689.html
Copyright © 2011-2022 走看看