【基础算法复习】斐波那契系列问题（二）

一、绪论

　　斐波那契数列求解是一个经典的递归问题，一种版本（有多种描述方式）问题描述为“给定整数N，代表台阶数目，一次可以跨2个或者1个台阶，返回有多少种走法”。问题不难，使用递归即可求解，关键方程为Fa[i] = Fa[i-1] + Fa[i-2]; 且Fa[i<2] = 1 ;(int i>0)但是递归过程中，花费的时间是呈现几何程度增长的，这里我们讨论要求实现时间复杂度为O(logN)的求解方式。

二、目的

　　解决斐波那契问题一般来说有三个方式，他们的时间复杂度分别是O(2的n次方)、O(N)、O(logN)可以看出来，他们的时间复杂度越来越小，也可以说，实现的方式不同，效率也有很大的差异。下面简单填一下他们各自的实现思路。

　　1、普通递归，通过Fa[i] = Fa[i-1] + Fa[i-2]; 算式迭代，可以非常轻松地完成斐波那契数列的求解，但是缺点也显而易见 ；

　　2、动态规划，状态转移方程依然和上述的方式一样，但是不同点在于，动态规划的状态按照斐波那契数列从左到右依次求解每一项的值 ；

　　3、矩阵动态规划，斐波那契数列表达式，可以使用矩阵来表示，很容易证明，严格满足Fa[i] = Fa[i-1] + Fa[i-2]的方程可以用矩阵的n次方相乘来表示。

三、编程实现

O(2的n次方)

   //实现O(2的n次方)
    public int f1(int n){
        if(n<1){
            return 0 ;
        }
        if(n==1 || n==2){
            return 1;
        }
        return f1(n-1)+f1(n-2) ;
    }

O(N)

 public int f2(int n){
        if(n<1){
            return 0 ;
        }
        if(n==1 || n==2){
            return 1;
        }

        int n1=1 ;
        int n2=1 ;
        int tmp =0;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            tmp=n1 ;
            n1=n1+n2;
            n2=tmp ;
        }
        return n1 ;
    }

O(logN)