高数(01)--函数、极限、连续

高数(1)--函数、极限、连续

极限

极限定义

自变量趋于有限值时函数的极限：

[lim_{x o x_0} f(x) = A iff forall epsilon > 0, exists delta > 0, 当 0 < |x - x_0| < delta 时， 有 |f(x) - A| < epsilon ]

自变量趋于无穷大时函数的极限：

[lim_{x o infty } f(x) = A iff forall epsilon > 0, exists X> 0, 当 |x|>X时， 有 |f(x) - A| < epsilon ]

极限性质

函数极限三大性质:

• 唯一性
• 局部有界性
• 局部保号性

无穷大、无穷小

无穷小

如果函数(f(x))当(x o x_0)(或(x o infty))时的极限为零，那么称函数(f(x))为当(x o x_0)(或(x o infty))时的无穷小

无穷小与函数极限的关系：(去极限符号)

在自变量的同一变化过程(x o x_0(或x o infty))中，函数(f(x))具有极限A的充分必要条件是(f(x) = A + alpha) , 其中(alpha)是无穷小

[lim_{x o x_0}f(x) = A iff f(x) = A + alpha , alpha为x o x_0的无穷小 ]

无穷大

设函数(f(x))在(x_0)的某一去心邻域内有定义(或(|x|)大于某一正数时有定义). 如果对于任意给定的正数(M)(不论它多么大)， 总存在正数(delta)(或正数(X))，只要(x)适合不等式(0<|x - x_0| < delta)(或(|x| > X)), 对应的函数值(f(x))总满足不等式

​ (|f(x)| > M)

则称函数(f(x))为当(x o x_0(或 x o infty))时的无穷大

[lim_{x o x_0} f(x) = infty (或 lim_{x o infty} f(x) = infty) ]

无穷大与无穷小的关系：

在自变量的同一变化过程中，如果(f(x))为无穷大，则(frac{1}{f(x)})为无穷小；反之，如果(f(x))为无穷小，且(f(x) eq 0), 则(frac{1}{f(x)})为无穷大

极限运算法则

定理1

有限个无穷小的和也是无穷小

定理2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小

定理3

如果(lim f(x)=A, lim g(x) = B), 那么

(1) (lim [f(x) pm g(x)] = lim f(x) pm lim g(x) = A pm B)

(2) (lim [f(x) cdot g(x)] = lim f(x) cdot lim g(x) = A cdot B)

(3) 若又有(B eq 0), 则

​ $$lim frac{f(x)}{g(x)}= frac{lim f(x)}{lim g(x)} = frac{A}{B}$$

定理4