[HNOI2017]抛硬币

题目描述

小 A 和小 B 是一对好朋友，他们经常一起愉快的玩耍。最近小 B 沉迷于**师手游，天天刷本，根本无心搞学习。但是已经入坑了几个月，却一次都没有抽到 SSR，让他非常怀疑人生。勤勉的小 A 为了劝说小 B 早日脱坑，认真学习，决定以抛硬币的形式让小 B 明白他是一个彻彻底底的非洲人，从而对这个游戏绝望。两个人同时抛 b 次硬币，如果小 A 的正面朝上的次数大于小 B 正面朝上的次数，则小 A 获胜。

但事实上，小 A 也曾经沉迷过拉拉游戏，而且他一次 UR 也没有抽到过，所以他对于自己的运气也没有太大把握。所以他决定在小 B 没注意的时候作弊，悄悄地多抛几次硬币，当然，为了不让小 B 怀疑，他不会抛太多次。现在小 A 想问你，在多少种可能的情况下，他能够胜过小 B 呢？由于答案可能太大，所以你只需要输出答案在十进制表示下的最后 k 位即可。

输入输出格式

输入格式：

有多组数据，对于每组数据输入三个数a,b,k，分别代表小A抛硬币的次数，小B抛硬币的次数，以及最终答案保留多少位整数。

输出格式：

对于每组数据，输出一个数，表示最终答案的最后 k 位为多少，若不足 k 位以 0 补全。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 1 9
3 2 1

输出样例#1： 复制

000000004
6

说明

对于第一组数据，当小A抛2次硬币，小B抛1次硬币时，共有4种方案使得小A正面朝上的次数比小B多。

(01,0), (10,0), (11,0), (11,1)

对于第二组数据，当小A抛3次硬币，小B抛2次硬币时，共有16种方案使得小A正面朝上的次数比小B多。

(001,00), (010,00), (100,00), (011,00), (101,00), (110,00), (111,00), (011,01), (101,01), (110,01),(111,01), (011,10), (101,10), (110,10), (111,10), (111,11).

数据范围

10%的数据满足a,b≤20；

30%的数据满足a,b≤100；

70%的数据满足a,b≤100000，其中有20%的数据满足a=b；

100%的数据满足1≤a,b≤1015,b≤a≤b+10000,1≤k≤91le a,ble 10^{15},ble ale b+10000,1le kle 91≤a,b≤1015,b≤a≤b+10000,1≤k≤9，数据组数小于等于10。

习惯交换a,b.
先考虑a和b都相等的情况.
每个硬币只有正反两种情况,所以在把一种B的获胜态翻转就会变成A的获胜态.
一共有2^(a+b)种情况.
那么答案为
平局的情况:
这个东西好像叫范德蒙德卷积.感性证明:
把2a均分为两组,那么从两组中一共取a个的方案数=分别从两组中取i个和a-i个的方案数.
现在讨论b>a的情况.
首先,a的获胜态翻转后必定是b的获胜态,但b的获胜态翻转不一定是a的获胜态.
若能够求出所有的b的获胜态且翻转时候还是b的获胜态的数量,记为S.
那么答案就是
现在只需求出S.

其中用到了范德蒙德卷积.
然后就用扩展Lucas算出来就可以了.
扩展Lucas:
用来求n!mod p^k.
可以把n!分为两类:
1.p的倍数,这些项提取p之后又是一个新的阶乘,递归处理即可.提取的p不要算进去,最后一起算.
2.其他项.可以发现,在模p^k的意义下,其他项会构成循环,最后不满的循环也不会超过p^k个,暴力搞就可以了.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<complex>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#define RG register
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define UN unsigned
#define LL long long
using namespace std;
int pw[10]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000};
int k,mod,p1,p2,jc[2][2000000];
LL a,b;
bool flag=0;
inline void exgcd(RG LL aa,RG LL bb,RG LL &x,RG LL &y){
  if(bb==0) x=1,y=0;
  else exgcd(bb,aa%bb,y,x),y-=(aa/bb)*x;
}
inline LL Inv(RG LL aa,RG LL p){
  LL x,y;exgcd(aa,p,x,y);
  return (x+p)%p;
}
inline LL qpow(RG LL x,RG LL y,RG LL p){
  RG LL ans=1;
  while(y){
    if(y&1) ans=ans*x%p;
    y>>=1;
    x=x*x%p;
  }
  return ans;
}
inline void prepare(){
  p1=1,p2=1;
  for(RG int i=1;i<=k;i++) p1*=2,p2*=5;
  jc[0][0]=jc[1][0]=1;
  for(RG int i=1;i<=1999000;i++){
    if(i%2)jc[0][i]=(LL)jc[0][i-1]*i%p1;else jc[0][i]=jc[0][i-1];
    if(i%5)jc[1][i]=(LL)jc[1][i-1]*i%p2;else jc[1][i]=jc[1][i-1];
  }
}
inline LL Fac1(RG LL x){
  if(x==0) return 1;
  RG LL re=jc[0][p1];
  re=qpow(re,x/p1,p1);
  re=(re*jc[0][x%p1])%p1;
  return re*Fac1(x/2)%p1;
}
inline LL Fac2(RG LL x){
  if(x==0) return 1;
  RG LL re=jc[1][p2];
  re=qpow(re,x/p2,p2);
  re=(re*jc[1][x%p2])%p2;
  return re*Fac2(x/5)%p2;
}
inline LL calc1(RG LL n,RG LL m){
  if(n<m) return 0;
  RG LL c=0;
  for(RG LL i=n;i;i/=2) c+=i/2;
  for(RG LL i=m;i;i/=2) c-=i/2;
  for(RG LL i=n-m;i;i/=2) c-=i/2;if(flag) c--;
  if(c>=k) return 0;
  RG LL x=Fac1(n),y=Fac1(m),z=Fac1(n-m);
  RG LL aa=(x*Inv(y,p1)%p1*Inv(z,p1)%p1)%p1*qpow(2,c,p1)%p1;
  return (aa*(mod/p1)%mod*Inv(mod/p1,p1)%mod)%mod;
}
inline LL calc2(LL n,LL m){
  if(n<m) return 0;
  RG LL c=0;
  for(RG LL i=n;i;i/=5) c+=i/5;
  for(RG LL i=m;i;i/=5) c-=i/5;
  for(RG LL i=n-m;i;i/=5) c-=i/5;
  if(c>=k) return 0;
  RG LL x=Fac2(n),y=Fac2(m),z=Fac2(n-m);
  RG LL aa=(x*Inv(y,p2)%p2*Inv(z,p2)%p2)%p2*qpow(5,c,p2)%p2;
  if(flag) aa=aa*Inv(2,p2)%p2;
  return (aa*(mod/p2)%mod*Inv(mod/p2,p2)%mod)%mod;
}
inline LL exlucas(RG LL n,RG LL m){
  RG LL a1=calc1(n,m),a2=calc2(n,m);
  return (a1+a2)%mod;
}
int main(){
  freopen("!.in","r",stdin);
  freopen("!.out","w",stdout);
  while(scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&k)!=EOF){
    swap(a,b);mod=pw[k];
    RG LL s=0;flag=0;
    prepare();
    if(a!=b) for(RG LL i=a+1;i<=(a+b-1)/2;i++) s=(s+exlucas(a+b,i))%mod;
    if((a+b)%2==0) flag=1,s=(s+exlucas(a+b,(a+b)/2))%mod;
    if(a==b) s=(mod-s)%mod;
    RG LL ans=(qpow(2,a+b-1,mod)+s)%mod;
    for(RG int i=k-1;i>=0;i--)
      printf("%d",ans/pw[i]),ans%=pw[i];
    printf("
");
  }
  return 0;
}