一、定义
从 (n) 个不同元素种取出 (m(m≤n)) 个元素的所有不同排列（1234与4321属不同排列）的个数，叫做从 (n) 个不同元素种取出 (m) 个元素的排列数，用符号 (A_{n}^{m}) 表示。
从 (n) 个不同元素种取出 (m(m≤n)) 个元素的所有不同组合（1234和4321属相同组合）的个数，叫做从 (n) 个不同元素种取出 (m) 个元素的组合数，用符号 (C_{n}^{m}) 表示。
二、基础公式
(A_{n}^{m}=frac{n!}{(n-m)!})
(C_{n}^{m}=frac{n!}{(n-m)!*m!})
(C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1})
(C_{n}^{m+1}=frac{n-m}{m+1}*C_{n}^{m} (C_{n}^{0}=1))
三、常见恒等式
(1) 二项式定理：((a+b)^n=sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}a^i*b^{n-i})
(2) (sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}=2^n)
法一：令二项式定理中 ((a+b)^n) 的 (a=b=1) ，
故 ((1+1)^n=sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}=2^n)。
法二：一个含有 (n) 个元素的集合总共有 (2^n) 个子集。
含有 (0) 个元素的集合总共有 (C_{0}^{n}) 个
含有 (1) 个元素的集合总共有 (C_{1}^{n}) 个
含有 (2) 个元素的集合总共有 (C_{2}^{n}) 个
......
含有 (n) 个元素的集合总共有 (C_{n}^{n}) 个，故(2^n=sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}})。
(3) (sum_{i=0}^{n}{2^{i}*C_{n}^{i}}=3^n)
证法：令二项式定理中 ((a+b)^n) 的 (a=2,b=1) ，
故 ((1+2)^n=sum_{i=0}^{n}{2^{i}*C_{n}^{i}}=3^n)。
(4) (sum_{i=0}^{n}{(-1)^{i}*C_{n}^{i}}=0)
法一：令二项式定理中 ((a+b)^n) 的 (a=1,b=-1) ,
故 ((1-1)^n=sum_{i=0}^{n}{(-1)^{i}*C_{n}^{i}}=0)。
法二：设 (T) 是一个有 (n) 个元素的集合，对 (T) 中的某一个元素 (a)，
从 (T) 中选取 (r) 个元素，从元素 (a) 的角度讲，这 (r) 个元素的组合只分包含 (a) 和不含 (a) 两类，
假设 (r) 为奇数，那么假如 (r) 个元素中没有包含 (a) 则可以加入 (a) ；否则可以删去 (a) 。
故每一个奇数的组合总能对应一个偶数的组合。
推论：(C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+...)
（5）(sum_{i=1}^{n}{i*C_{n}^{i}}=n*2^{n-1})
证法：令二项式定理中 ((a+b)^n) 的 (a=x,b=1) ，
故((1+x)^n=sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}*x^i}) 。
对左边取导得 (((1+x)^n)^{'}=n*(1+x)^{n-1}) ,
对右边取导得 ((sum_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}*x^i})^{'}=sum_{i=1}^{n}{C_{n}^{i}*x^{i-1}*i}) 。
分别带入 (x=1) ，由于函数相等，所以任意一点的斜率必然相等，即
(n*2^{n-1}=sum_{i=1}^{n}{i*C_{n}^{i}}) 。
(6) (sum_{i=0}^{m}C_{n+i}^{i}=C_{n+m+1}^{m})
证法：(C_{n+1}^{0}=C_{n}^{0}+0) ，
(C_{n+2}^{1}=C_{n+1}^{1}+C_{n+1}^{0}) ，
(C_{n+3}^{2}=C_{n+2}^{2}+C_{n+2}^{1}) ，
......
(C_{n+m+1}^{m}=C_{n+1}^{m}+C_{n+1}^{m-1}) ，
将每个式子的左右分别相加，删去部分左边项与右边第二项即可发现 (sum_{i=0}^{m}C_{n+i}^{i}=C_{n+m+1}^{m}) 。
(7) (C_{n}^{k}*C_{k}^{m}=C_{m}^{n}*C_{m-n}^{m-k})
证法：(C_{n}^{k}*C_{k}^{m}=frac{k!}{n!*(k-n)!}*frac{m!}{k!(m-k)!}=frac{m!}{n!*(k-n)!*(m-k)!}=frac{m!(n-m)!}{n!*(n-m)!*(k-n)!*(m-k)!}=C_{m}^{n}*C_{m-n}^{m-k})
（持续更新）