这题满满的黑科技orz
题意：给出L，要求求出最小的全部由8组成的数(eg: 8,88,888,8888,88888,.......)，且这个数是L的倍数
sol：全部由8组成的数可以这样表示：((10^x)-1)*(8/9)
那么有m=((10^x)-1)*(8/9)=k*L，answer即满足条件的最小的x
性质1：若ax=by且a和b互质，那么说明a中没有任何b的质因子，b的质因子一定都在x里。所以x是b的倍数。
所以先想方设法在等式中构造两个互质的数以便化简。我们取p=8/gcd(8,L)，q=9*L/gcd(8,L)
那么有p*((10^x)-1)=q*k，且p与q互质【8/gcd(8,L)与L/gcd(8,L)一定互质。8又没有3这个质因子，所以9*L/gcd(8,L)还是会互质】
所以由性质1，(10^x)-1是q的倍数。
所以(10^x)-1=0 (mod q)
(10^x)=1 （mod q)
性质2：欧拉定理。对于正整数a,n，若gcd(a,q)=1，则有a^phi(q)=1 (mod q) 【其中phi是欧拉函数】
这个式子是不是和上面很像呢~
所以若gcd(10,q)=1说明有解，否则无解
对于有解的情况，x=phi(q)就是一个解，但不一定是最小解。actually，0---phi(q)中还可能存在解。
性质3：因为后面有mod n，而余数都是有循环节的。（即一个循环周期的长度，设为r）
eg：如果有10^a=1 (mod q)，那么10^(a+r)=1 (mod q)
首先x=0是一个解【10^0=1 (mod q)】。而且已经确定phi(q)也是一个解了。所以phi(q)一定是这个循环节r的倍数。
根据性质3，r肯定也是一个解。而且是最小的。
所以只要枚举phi(q)的约数，找出其中最小的满足条件的即可。
-----------------------接下来是满满的黑科技orz----------------------
Q1：本题数据很大，求gcd的过程会TLE肿么办
A1：因为gcd里面有一个数字是固定的，所以可以用一下黑科技
//q=9*N/gcd(8,N); q=9*N; for (int i=0;i<3;i++) if (q%2==0) q=q/2; else break;
要求的是q/gcd(8,N)
而8分解质因数之后是2^3，也就是说带8的gcd里面最多也只可能有3个2。所以直接把这3个2能除掉的都除掉就行了
//if (gcd(10,q)!=1) ans=0; if ((q%2==0)||(q%5==0)) ans=0;
10的质因子只有2和5。如果q是2或5的倍数，就说明q和10不互质。
Q2：求快速幂取模(10^x)%q的时候，数据超了long long的范围，会出错
A2：这样：
LL func(LL a,LL b,LL c) //a*b%c { long long ret = 0; while (b) { if (b & 1) ret = (ret + a) % c; a = 2 * a % c; b >>= 1; } return ret; } LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD) { if (a==1) return 1; LL t=a%MOD,ans=1; while(b) { if (b&1) ans=func(ans,t,MOD); t=func(t,t,MOD); b>>=1; } return ans; }
其实我也没看懂func是个什么鬼。。。。【逃
AC Code：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 using namespace std; 4 #define LL long long 5 #define MAXL 1000 6 7 LL TC=0; 8 LL N,MOD,TM,q,ans; 9 int phi[MAXL+5]; 10 11 int gcd(int a,int b) //辗转相除法，返回gcd(a,b) 12 { 13 if (b==0) return a; 14 return gcd(b,a%b); 15 } 16 17 long long euler(long long n) 18 { 19 long long ret = n; 20 for (long long i = 2; i * i <= n; i++) 21 if (n % i == 0) 22 { 23 ret = ret / i * (i - 1); 24 while (n % i == 0) 25 n /= i; 26 } 27 if (n > 1) 28 ret = ret / n * (n - 1); 29 return ret; 30 } 31 32 33 /* 34 LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD) 35 { 36 if (a==1) return 1; 37 LL t=a%MOD,ans=1; 38 while(b) 39 { 40 if (b&1) 41 ans=ans*t%MOD; 42 t=t*t%MOD; 43 b>>=1; 44 } 45 return ans; 46 } 47 */ 48 49 LL func(LL a,LL b,LL c) //a*b%c 50 { 51 long long ret = 0; 52 while (b) 53 { 54 if (b & 1) 55 ret = (ret + a) % c; 56 a = 2 * a % c; 57 b >>= 1; 58 } 59 return ret; 60 } 61 62 LL pow_mod(LL a,LL b,LL MOD) 63 { 64 if (a==1) return 1; 65 LL t=a%MOD,ans=1; 66 while(b) 67 { 68 if (b&1) 69 ans=func(ans,t,MOD); 70 t=func(t,t,MOD); 71 b>>=1; 72 } 73 return ans; 74 } 75 76 int main() 77 { 78 //calc_phi(MAXL); 79 while (~scanf("%I64d",&N)) 80 { 81 TC++; 82 if (N==0) break; 83 //q=9*N/gcd(8,N); 84 q=9*N; 85 for (int i=0;i<3;i++) 86 if (q%2==0) 87 q=q/2; 88 else break; 89 90 TM=euler(q); //tm=phi[q]; 91 ans=TM; 92 //if (gcd(10,q)!=1) 93 if ((q%2==0)||(q%5==0)) 94 ans=0; 95 else 96 { 97 for (LL i=1; i*i<=TM; i++) 98 if (TM%i==0) 99 { 100 LL t1=i,t2=TM/i; 101 LL M1=pow_mod(10,t1,q); 102 LL M2=pow_mod(10,t2,q); 103 //cout<<t1<<" "<<M1<<endl<<t2<<" "<<M2<<endl; 104 if ((M1==1)&&(t1<ans)) 105 ans=t1; 106 if ((M2==1)&&(t2<ans)) 107 ans=t2; 108 } 109 } 110 printf("Case %d: ",TC); 111 cout<<ans<<endl; 112 } 113 } 114 115 116 117 /* 118 LL len,tmp,N; 119 int TC=0; 120 bool ok; 121 122 int main() 123 { 124 while(~scanf("%I64d",&N)) 125 { 126 TC++; 127 if (N==0) break; 128 tmp=8; 129 len=1; 130 ok=false; 131 if (tmp%N==0) ok=true; 132 while ((!ok)&&(len<=MAXL)) 133 { 134 tmp=tmp*10+8; 135 len++; 136 if (tmp%N==0) 137 ok=true; 138 } 139 if (ok) 140 printf("Case %d: %I64d ",TC,len); 141 else 142 printf("Case %d: 0 ",TC); 143 } 144 145 return 0; 146 } 147 */
Reference:
http://www.cnblogs.com/rainydays/archive/2012/11/05/2754760.html
http://blog.csdn.net/yhrun/article/details/6908470