CF441E Valera and Number

想假了的题

Link.

Codeforces
Luogu

Description.

给定一个数 \(x\)，每次有 \(\cfrac p{100}\) 的概率 \(x\leftarrow x\times 2\)，有 \(1-\cfrac p{100}\) 的概率 \(x\leftarrow x+1\)。
问最后 \(x\) 期望二进制下末尾 \(0\) 的数量。

Naive Solution.

首先，根据经典套路来把期望拆成概率乘上对应的权值。
然后有一个 Naive 的 dp，设 \(dp_{i,x}\) 表示前 \(i\) 次操作，使数变成了 \(x\) 的方案数。
同时，我们发现有一个性质，就是只有 \(+1\) 操作会使其减少，且 \(+1\) 操作最多进行 \(K\) 次。
所以我们维护出 \(x\) 的后 \(8\ (2^8=256\ge K)\) 位，然后直接暴力 dp 即可

最后发现假的离谱
如果有一个数二进制下是 \(1111111111111111111111111111111111111\)，那显然和前面都有关
然后就假了。
隔壁的 T 神想了个神仙处理方法，就是枚举末尾有多少个 \(1\)，但是无法处理。

Solution.

注意，并不一定所有期望题都需要转化成概率带权和，也有可以直接 dp 记录期望的。
这个 \(+1\) 看似特别无法处理，那么我们不妨考虑绕过它。
我们可以考虑“贷款”，刚开始现“贷”出几次的操作，然后再慢慢“还债”。
考虑 dp 状态多加一维，代表当前欠了多少债，另一维仍然代表第 \(i\) 位。
所以我们在 dp 初始化时就已经知道了最后会有多少个 \(+1\)，可以预先处理期望。
然后每次转移，就考虑当前如果 \(\times2\)，那需要还的“债”也 \(\times2\) 了，期望 \(+=1\)。
如果 \(+1\)，那就还了一个债，期望不变，最后当然要取“债”还完了的状态了。
当然，“债”如果无限 \(\times 2\)，使其永远也还不起了，那这个状态有什么用呢
然后就做完了，代码极短，复杂度 \(O(k^2+k\times\log x)\)

Coding.

点击查看垃（le）圾（se）代码

//是啊，你就是那只鬼了，所以被你碰到以后，就轮到我变成鬼了{{{
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;char c=getchar(),f=0;
	for(;c<48||c>57;c=getchar()) if(!(c^45)) f=1;
	for(;c>=48&&c<=57;c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	f?x=-x:x;
}/*}}}*/
const double eps=1e-10;int X,K;double dp[205][205],p,rs=0;
int main()
{
	read(X),read(K),scanf("%lf",&p),p/=100;
	for(int i=0;i<=K;i++) for(int j=X+i;!(j&1);j>>=1,dp[0][i]++);
	for(int i=0;i<K;i++) for(int j=0;j<=K;j++)
		(j?dp[i+1][j-1]+=dp[i][j]*(1-p):p),(j*2<=K?dp[i+1][j*2]+=(dp[i][j]+1)*p:p);
	return printf("%.10lf\n",dp[K][0]),0;
}