矩阵分析基础常见矩阵

单位阵（Identity Matrix）

定义：单位阵是对角元素为1，其它元素为0的方阵。

，也可表示为I_n = diag(1,1,...,1)

性质：

AI_n = A 且 I_nB = B

对称阵（symmetric matrix）

定义：对称阵为其转置和自身相等的方阵，即元素以主对角线（（左上至右下）为轴进行对称，A^T = A

斜对称阵（skew-symmetric matrix）

定义：对称阵为其转置和自身加法逆相等的方阵，A^T = − A。

性质：

• 1）斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵。
• 2）任意矩阵A，A^T − A是斜对称矩阵。
• 3）若A是斜对称矩阵，x是向量，x^TAx = 0
• 4）斜对称矩阵的主对角线元素必是零，所以其迹数为零。

初等矩阵（Elementary Matrix）

接近问题时，常将复杂问题分解为一些基础模块。这里要介绍的就是如何将一个矩阵分解为一系列初等矩阵的乘积。

定义：一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。

初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。

1）类型1，互换行/列： 。如下互换第i,j行                                     

2）类型2，把某行/列乘以一非零常数： 其中                                   

3）类型3，把第 i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍：                                  

性质：

• 1）；| T_ij | = − 1； | T_ijA | = − | A | 。
  • 2），此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵；|T_i(m) | = m， | T_i(m)A | = m | A | 。
    • 3） T_ij(m) ^{− 1} = T_ij( − m)，此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵；| T_ij(m) | = 1， | T_ij(m)A | = | A | 。

作用：左乘初等矩阵相当于对矩阵行进行初等变换；右乘初等矩阵相当于对矩阵列进行初等变换。