矩阵分析线性系统5 最小二乘问题（The Least Squares Problem）

1. 引文

假设我们要确定一根绳子的弹性，而它的长度与拉力间服从公式，F为拉力，l为绳子在拉力F作用下的长度，e和k为待确定的常数。为此，我们进行一批实验采集如下数据，并绘制其散点图

                                                                           

根据此数据，构造的公式及其矩阵形式为

                                                                

要解此方程需要利用最小二乘方法。

2. 最小二乘方法

对于上例所示的系统，A为m*n且m>n的矩阵，被成为超定的（overdetermined）。一般，它没有解。例如，当m=3，n=2时，A的两个列向量和在空间图形如下，我们希望能获得此列向量的线性组合以使。从图中，可清楚看出这是不可能的，因为b并不在和张成的空间中。

                                                  

这时，因为无法求求解，退而求其次，我们希望解x1和x2使残差向量（residual vector）尽可能小。当然，这时解就依赖于如何度量残差向量的长度。在最小二乘方法中使用欧氏距离，问题转换为下面优化问题

                                                    

由上面图形可知，当线性组合使残差变量与品面正交时，向量b到此平面的距离最小。表达为公式把代入上式有，解此公式就得到最小二乘意义下的解。

                                                 ，称为正规方程组（normal equations）

定理：若A的列向量线性独立，则是非奇异的，并且有唯一解。

3. 案例分析

                         

利用matlab

>> C=A’*A % Normal equations
C= 5 15
15 55
>> x=C\(A’*b)
x = 4.2360
3.2260

注意，利用正规方程组解最小二乘问题有以下缺陷：

1）构造会导致信息丢失

2）的条件数是A的平方

3.1 会导致信息

对于，。当非常小时，会造成的浮点表达，从而导致正规方程组为奇异的。因此，A中重要信息在中丢失了

3.2条件数大