数据结构--树

树和二叉树的定义

树的基本术语

• 结点：树中的每一个独立单元。如图中的A、B、C、D等。
• 结点的度：结点拥有的子树的个数称为结点的度。
• 树的度：树内各节点度的最大值。
• 叶子：度为0的结点称为叶子节点。如图中的K 、 L 、 F 、 G 、 M 、 I 、 J。
• 非终端节点：度不为0的结点。
• 双亲和孩子：结点的子树的根称为该结点的孩子，该结点称为孩子的双亲。
• 兄弟：双亲相同的两个结点。
• 祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。
• 子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。
• 层次：根结点为第一层，气候没多一层层数加1。
• 堂兄弟：双亲在同 一层的结点互为堂兄弟。
• 树的深度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。

二叉树的定义

二叉树是n(n≥0)个结点所构成的集合，当n=0时称为空树，对于非空树T：

• 有且仅有一个根结点
• 每个根结点最多只能有两个孩子。

二叉树

满二叉树和完全二叉树

满二叉树

深度为k且含有2^k - 1个结点的二叉树。

完全二叉树

深度为k的，有n个结点的二叉树，其每一个结点都遵循从左到右的顺序进行编号，不存在间断，则称之为完全二叉树。

二叉树的性质

性质一

在二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点(i≥1)。

性质二

深度为k的二叉树最多有2^k-1个结点(k≥1)。

性质三

对任何一棵二叉树T，如果其终端结点树为n₀，度为2的节点数为n₂，则n₀ = n₂ + 1

性质四

具有n个结点的完全二叉树的深度为⌊log₂n⌋ + 1。

性质五

如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为⌊log₂n⌋ + 1)的结点按层序编号，则对任一节点i(1 ≤ i ≤ n)，有

• 如果i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i > 1，则其双亲是结点⌊i/2⌋
• 如果2i > n，则结点i无左孩子（结点i为叶子节点）；否则其左孩子是结点2i
• 如果2i + 1 > n，则结点无右孩子；否则其右孩子是结点2i + 1

二叉树的遍历

遍历二叉树是指按某条搜索路径巡防树中的每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。

二叉树的先序遍历

先访问根节点，先序遍历左子树，先序遍历右子树。

二叉树的中序遍历

先中序遍历左子树，访问根节点，中序遍历右子树

二叉树的后序遍历

先后序遍历左子树，后序遍历右子树，访问根节点。