poj 3903 & poj 2533 最长上升子序列（LIS）

最长上升子序列。

做这道题之前先做了2533，再看这道题，感觉两道题就一模一样，于是用2533的代码直接交， TLE了；

回头一看，数据范围。2533 N：0~1000；3903 N ：1~100000。

原因终归于算法时间复杂度。

也借这道题学习了nlgn的最长上升子序列。（学习链接：http://blog.csdn.net/dangwenliang/article/details/5728363）

下面简单介绍n^2 和 nlgn 的两种算法。

n^2：

主要思想：DP；

假设A1,A2...Ak已经为上升子序列，下一个遇到的数是An,那么下面会遇到两种情况；

(1) An <= Ak;这种情况，则所得上升子序列仍为A1—Ak

(2) An > Ak;这种情况，将An添加到Ak后面，则使得新的上升子序列（A1，A2，...，Ak，An）长度为 k+1（ ＞ ｋ）；

由此可得状态转移方程为： dp[i] = max( dp[ i ], dp[ j ]  + 1). 其中 i < j < n;

#include<stdio.h>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1024;
int seq[N];
int dp[N];

int main(){

  int n;

  while(~scanf("%d", &n)){

    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d", &seq[i]);
        dp[i] = 1; // 初始长度为1
    }
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j < i; ++j)
          if(seq[j] < seq[i])
            dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
    int mlen = -1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
      mlen = max( mlen,  dp[i] );
    printf("%d
", mlen);
  }

  return 0;

}

容易看出该时间复杂度为 n^2；

nlgn：

主要思想：二分；

假设A1,A2...Ak已经为上升子序列，若此时存在：

（1） Am < Ap < An；(1< m < n < k, p > m)

（2）length of A1...Am, An...AK == length of A1...Ap, An...Ak;

显然， A1...Ap, An...Ak 会比 A1...Am, An...AK更优。为什么呢？

如果此时存在 q , p < q < n, 使得Ap < Aq < An，则有长度为 k+1 （ > k）的上升子序列。

由此，我们可以得出一种思路：

用一个数组C[ ],来存放长度为 s 的最长上升子序列中的最小值。（1 <= s < len, len为A中最长上升子序列的长度）

可知C有如下特点：

(1) C为不下降序列。（此特点为可以使用二分的条件）

(2) C的长度即为最长上升子序列的长度。

那么， 对于Clen， 如果下一个要考虑是否添加进入上升序列的元素为At，有At > Clen,则将At添入C的末尾，可得新的上升子序列，此序列长度为 len + 1；

                         如果有At < Clen，则找到 j ,使得Aj为所有小于At中的最大值，若不存在与 At 相等的值，则把At插入 j+1 这个位置，会新得到一个长度为len + 1的上升子序列。（由于C是有序的，所以查找j的时候可以采用二分法）；

但最后得到的C，不是A中的最长上升子序列。（ 该算法的正确性我也无法证明，而且没有搜到该算法的证明 ）

#include<stdio.h>

const int N = 100008;

int num[N], c[N];

int bin(int *a, int len, int n){

   int left = 0, right = len, mid = (left + right) >> 1;
   while(left <= right){

       if(n > a[mid]) left = mid + 1;
       else if( n < a[mid] ) right = mid - 1;
       else return mid;
       mid = ( left + right ) >> 1;

   }
   return left;

}

int main(){


   int n;
   while(~scanf("%d", &n)){

    for(int i = 0; i < n + 1; i++) //为什么要到n+1呢？
        c[i] = 1000000;

    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &num[i]);
    c[0] = -1;//c[0] = -1??为什么
    c[1] = num[0];
    int len = 1;
    for(int i = 1; i < n; i++){
        int k = bin(c, n+1, num[i]);
        c[k] = num[i];
        if( k > len)
            len = k;
    }
    printf("%d
", len);
   }

   return 0;

}

此时时间复杂度为nlgn。

                                                                                                                                                                                END

如有任何问题，欢迎指教。