Riemann zeta 函数 (Ⅰ)

Riemann zeta 函数 (Ⅰ)

December 12, 2012

• Euler 乘积公式

Riemann 的基本思想是将 Euler 乘积公式推广到复变量的情形. 为此他对所有实部 $sigma>1$ 的复数 $s$ (设 $s=sigma+mathrm{i} au$),定义

egin{equation}
  zeta(s):=sum_{n=1}^{infty}n^{-s}=prod_{pinmathbb{P}}(1-p^{-s})^{-1}.
end{equation}

左边级数绝对收敛, 因此它的和函数 $zeta(s)$ 在半平面 $sigma>1$ 上解析. 右边的无穷乘积也同样绝对收敛.

egin{equation}
sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^s}=prod_{pinmathbb{P}}frac{1}{1-p^{-s}}
end{equation}
其中 $mathbb{P}$ 表示素数集合, 无穷乘积取遍了所有素数.

proof   由于 $Pgeqslant 2,$ 故而对 $s>1$ 有:
egin{equation}
  frac{1}{1-p^{-s}}=1+p^{-s}+p^{-2s}+cdots.
end{equation}
取 $p=2,3,cdots,P,$ 并将这级数乘在一起, 所得到的一般项就有形式
[2^{-a_2s}3^{-a_3s}cdots P^{-a_Ps}=n^{-s},]
其中
[n=2^{a_2}3^{a_3}cdots P^{a_P}quad (a_2geqslant0,a_3geqslant0,cdots,a_Pgeqslant0)]
当且仅当 $n$ 没有大于 $P$ 的素因子时, 则由算术基本定理可得, 这样的数 $n$ 就会在此乘积中仅出现一次. 从而有
[prod_{pleqslant P}frac{1}{1-p^{-s}}=sum_{P}n^{-s},]
右边的求和取遍素因子不超过 $P$ 的所有正整数.

这些数包括所有不超过 $P$ 的数, 所以 $0<sumlimits_{n=1}^{infty}n^{-s}-sumlimits_{(P)}n^{-s}<sumlimits_{P+1}^{infty}n^{-s}.$ 而最后的和当 $P oinfty$ 时趋向于 $0$. 于是 $sumlimits_{n=1}^{infty}n^{-s}=limlimits_{P oinfty}sumlimits_{(P)}n^{-s}=limlimits_{P oinfty}prodlimits_
{pleqslant P}frac{1}{1-p^{-s}}.$

• 解析延拓与函数方程

首先我们将 $zeta(s)$ 的定义延拓到半平面 $sigma>0$ 上. 为此, 只需作一个非常简单的处理就足够了. 当 $sigma>1$ 时, 我们有
egin{align*}
 zeta(s) & =sum_{n=1}^{infty}n^{-s}=sum_{n=1}^{infty}sint_{n}^{infty}frac{mathrm{d}t}{t^{s+1}}=sint_{1}^{infty}
 Big(sum_{nleqslant t}1Big)frac{mathrm{d}t}{t^{s+1}}  \
 & =sint_{1}^{infty}frac{[t]}{t^{s+1}}mathrm{d}t=frac{s}{s-1}-sint_{1}^{infty}frac{{t}}{t^{s+1}}mathrm{d}t,
end{align*}
其中 $[t]$ 表示实数 $t$ 的整数部分, 而 ${t}$ 表示这一实数的小数部分. 且 ${t}in[0,1)$, 所以当 $sigma>0$ 时最后一个积分收敛. 因此右式定义了 $zeta(s)$ 在去掉点 $s=1$ 后的半平面 $sigma>0$ 上的一个延拓.

下面我们讨论 $zeta(s)$ 被延拓为整个复平面上的亚纯函数, 除在 $s=1$ 有一阶极点外全纯.
作为准备先叙述 $Gamma$ 函数 (gamma function) $Gamma(s)$. 对于满足 $Re(s)>0$ 的复数 $s$, 定义
egin{equation}label{eq:2.1}
Gamma(s)=int_{0}^{infty}mathrm{e}^{-t}t^sfrac{mathrm{d}t}{t}.
end{equation}
如果 $s$ 为自然数, 则成立 $Gamma(s)=(s-1)!$. 另外, $Gamma(s)$ 亚纯地延拓到整个复平面, 其延拓仍记为 $Gamma(s).$ 这时 $Gamma(s)$ 除在 $s=0,-1,-2,-3,cdots$ 具有一阶极点外为全纯, 并且不具有零点. 再者, 对于整数 $mgeqslant0,$ 有
egin{equation}label{eq:2.2}
lim_{s o-m}(s+m)Gamma(s)=(-1)^mfrac{1}{m!}.
end{equation}

当 $Re(s)>1$ 时, 我们有
egin{align*}
 Gamma(s)zeta(s) & =int_{0}^{infty}mathrm{e}^{-t}t^sfrac{mathrm{d}t}{t}sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^s}  \
    & =int_{0}^{infty}sum_{n=1}^{infty}mathrm{e}^{-t}left(frac{t}{n} ight)^sfrac{mathrm{d}t}{t}  \
    & =int_{0}^{infty}sum_{n=1}^{infty}mathrm{e}^{-nx}x^sfrac{mathrm{d}x}{x} quad ext{(令 $x=frac{t}{n}$)} \
    & =int_{0}^{infty}frac{mathrm{e}^{-x}}{1-mathrm{e}^{-x}}x^sfrac{mathrm{d}x}{x}  \
    & =int_{0}^{infty}frac{x^{s-1}}{mathrm{e}^x-1}\,mathrm{d}x.
end{align*}
下面引入 Bernoulli 数 $B_n(n=0,1,2,3,cdots)$ 为
egin{equation}
frac{x}{mathrm{e}^x-1}=sum_{n=0}^{infty}frac{B_n}{n!}x^n,quad |x|<2pi.
end{equation}
故有

egin{align}label{eq:2.4}
zeta(s)Gamma(s) &=int_{0}^{infty}frac{x^{s-1}}{mathrm{e}^x-1}\,mathrm{d}x   onumber \
     & =int_{0}^{1}frac{x^{s-1}}{mathrm{e}^x-1}\,mathrm{d}x+int_{1}^{infty}
     frac{x^{s-1}}{mathrm{e}^x-1}\,mathrm{d}x  onumber\
     & =int_{0}^{1}x^{s-2}left(sum_{n=0}^{infty}frac{B_nx^n}{n!} ight)mathrm{d}x+int_{1}^{infty}
     frac{x^{s-1}}{mathrm{e}^x-1}\,mathrm{d}x  onumber\
     & =sum_{n=0}^{infty}frac{B_n}{n!}frac{1}{n+s-1}+int_{1}^{infty}
     frac{x^{s-1}}{mathrm{e}^x-1}\,mathrm{d}x.
end{align}
易知积分 $int_{1}^{infty}frac{x^{s-1}}{mathrm{e}^x-1}\,mathrm{d}x$ 收敛. $sumlimits_{n=0}^{infty}frac{B_n}{n!}frac{1}{n+s-1}$ 为 $s$ 的有理函数, 且是整个复平面上的亚纯函数, 在一阶极点 $s=1,0,-1,-2,-3,cdots$ 之外全纯. 这样我们将 $zeta(s)$ 延拓到整个复平面, 除 $s=1$ 有一阶极点.

接下来证明 $zeta(s)$ 满足的函数方程.
令
egin{equation}label{eq:2.5} chi(s)=pi^{-frac{s}{2}}Gamma(frac{s}{2})zeta(s)
end{equation}
则 $chi(s)$ 除在 $s=0,1$ 为极点外, 在整个复平面为全纯函数, 并满足函数方程
egin{equation}label{eq:2.6}
 chi(s)=chi(1-s).
end{equation}

proof   对于 $x>0$ 令
egin{equation}
psi(x)=sum_{n=1}^{infty}mathrm{e}^{-pi n^2x}.
end{equation}
根据 $Gamma$ 函数的定义
[Gamma(s)=int_{0}^{infty}mathrm{e}^{-x}x^{s-1}\,mathrm{d}x quad (Re(s)>0),]
知有
[chi(s)=int_{0}^{infty}psi(x)x^{frac{s}{2}-1}\,mathrm{d}x]
将此积分在 $x=1$ 处分割开, 有
[chi(s)=int_{0}^{1}psi(x)x^{frac{s}{2}-1}\,mathrm{d}x+int_{1}^{infty}psi(x)x^{frac{s}{2}-1}\,mathrm{d}x]
将前一个积分作变量代换 $x o frac{1}{x}$, 得
[int_{0}^{1}psi(x)x^{frac{s}{2}-1}\,mathrm{d}x=int_{1}^{infty}psiBig(frac{1}{x}Big)x^{-frac{s}{2}-1}
\,mathrm{d}x]
由等式
egin{equation}label{eq:2.8}
2psiBig(frac{1}{x}Big)+1=x^{frac{1}{2}}(2psi(x)+1),
end{equation}
从而有
egin{align*}
  chi(s) &=int_{0}^{1}psi(x)(x^{frac{s}{2}}+x^{frac{1-s}{2}})frac{mathrm{d}x}{x}+frac{1}{2}int_{1}^{infty}
  (x^{frac{1}{2}}-1)x^{-frac{s}{2}-1}\,mathrm{d}x   \
  &=int_{1}^{infty}psi(x)(x^{frac{s}{2}}+x^{frac{1-s}{2}})frac{mathrm{d}x}{x}+frac{1}{s(s-1)}.
end{align*}
于是由此得到了证明.

这里需要对 eqref{eq:2.6} 与等式 eqref{eq:2.8} 作一些说明.

Poisson 求和公式: 若 $mathbb{R}$ 上可积函数 $f$ 的 Fourier 变换被定义为
[hat{f}(x)=int_{-infty}^{+infty}f(y)mathrm{e}^{-2pi mathrm{i}xy}\,mathrm{d}y,]
当 $sum_{ninmathbb{Z}}f(n)$ 收敛且 $sum_{ninmathbb{Z}}f'(n+x)$ 对 $xin[0,1]$ 一致收敛时, 成立
[sum_{ninmathbb{Z}}f(n)=sum_{ninmathbb{Z}}hat{f}(n).]
容易验证, 对于正参数 $u$ 的每个值, 函数 $f(x)=mathrm{e}^{-pi ux^2}$ 满足 Poisson 求和公式的条件. 又 $hat{f}(x)=mathrm{e}^{-pi x^2/u}u^{-1/2}$. 因此有公式
egin{equation}
vartheta(u):=sum_{ninmathbb{Z}}mathrm{e}^{-pi n^2u}
end{equation}
所定义的函数 $vartheta:(0,infty) o (0,infty)$ 满足函数方程
[vartheta(1/u)=sqrt{u}vartheta(u) quad (u>0)]
这里 $vartheta(u)$ 被称为 Jacobi theta 函数. 且 $psi(u)=frac{1}{2}(vartheta(u)-1)$, 即得 eqref{eq:2.8}.

进一步我们利用余元公式 (Euler 互补公式)
[Gamma(s)Gamma(1-s)=frac{pi}{sin pi s}]
以及 Legendre 加倍公式
[Gamma(s)GammaBig(s+frac{1}{2}Big)=sqrt{pi}2^{1-2s}Gamma(2s).]
将函数方程 $(7)$ (或 eqref{eq:2.5}) 改写为
egin{equation}label{eq:2.10}
zeta(1-s)=zeta(s)2(2pi)^{-s}Gamma(s)cosBig(frac{pi s}{2}Big)
end{equation}
或
egin{equation}label{eq:2.11}
zeta(s)=2^spi^{s-1}sinBig(frac{1}{2}pi sBig)Gamma(1-s)zeta(1-s) quad (s eq0,1).
end{equation}
由上面的函数方程我们易得 $zeta(s)$ 在点 $-2,-4,-6,cdots$ 处为零, 这些零点被称为 $zeta(s)$ 的平凡零点.

• $zeta(s)$ 函数值与算术性质

由 Bernoulli 数的定义或者 Bernoulli 多项式
[B_n(x)=sum_{i=1}^{n}inom{n}{i}B_ix^{n-i}]
这里 $inom{n}{i}=frac{n!}{i!(n-i)!}$. 我们可知
egin{align*}
  B_0 &=1,B_1=frac{1}{2},B_2=frac{1}{6},B_3=0,  \
  B_4 &=-frac{1}{30},B_5=0,B_6=frac{1}{42},B_7=0,cdots
end{align*}
当 $ngeqslant3$ 的奇数时, $B_n=0$, 且 $ngeqslant2$ 时, $B_n(1)=B_n(0)=B_n.$
由 $(7)$ 我们易得, 对于整数 $ngeqslant0,$

egin{equation}
lim_{s o 1-n}(s+n-1)(Gamma(s)zeta(s))=frac{B_n}{n!}cdot(-1)^n.
end{equation}
令 $n=1$, 因 $Gamma(1)=1$, 故
egin{equation}
  lim_{s o1}(s-1)zeta(s)=B_0=1.
end{equation}
设 $ngeqslant1$, 则因 eqref{eq:2.2} 知 $limlimits_{s o1-n}(s+n-1)Gamma(s)=(-1)^{n-1}cdotfrac{1}{(n-1)!}$. 故证明了
egin{equation}
  zeta(1-n)=-frac{B_n}{n},quad ngeqslant1,ninmathbb{N}.
end{equation}
这样我们得
egin{align}
&zeta(0) =-frac{1}{2},  onumber\
&  zeta(-2n) =0,quad zeta(-2n+1)=-frac{B_{2n}}{2n},quad ninmathbb{N}ackslash{0},\
&   zeta(-1)=-frac{1}{12},quad zeta(-3)=frac{1}{120},quad zeta(-5)=-frac{1}{252},cdots. onumber
end{align}
结合函数方程 eqref{eq:2.10} 我们得 Euler 公式.
egin{equation}label{eq:3.5}
zeta(2n)=frac{2^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}pi^{2n}}{2(2n)!}.
end{equation}

Lindemann (1882) 那个时代就知道 $pi$ 是超越数. 特别地, 所有 $zeta(2n)$ 是超越数. 对比之下, 直到 1979 年, 才由 Roger Apèry 证明了 $zeta(3)$ 是无理数, 尽管人们付出了相当大的努力, 关于 $zeta(s)$ 在其他奇整数 $s=2n+1geqslant5$ 时的类似结果仍旧颇为欠缺. Tanguy Rivoal 于 2001 年证明了有无穷多个 $zeta(2n+1)$ 是无理数. Wadim Zudilin 证明了 $zeta(5),zeta(7),zeta(9)$ 和 $zeta(11)$ 中至少有一个无理数. $zeta(s)$ 的这些值仍在挑战者专家们的智慧.
在对 Riemann zeta 函数与素数分布之间的关系做进一步的研究之前, 我们先讨论下面几个结果.

当 $sigma>1$ 时, 显然有
[zeta(s)^{-1}=prod_{pinmathbb{P}}(1-p^{-s}).]
展开无穷乘积, 可得
[zeta(s)^{-1}=1-sum_{pinmathbb{P}}p^{-s}+sum_{p<q}(pq)^{-s}-sum_{p<q<r}(pqr)^{-s}+cdots,]
其中 $p,q,r,cdots$ 为素数. 因此只有那些不含平方因子的整数才出现在求和式中, 并对于这样的整数 $n, n^{-s}$ 的系数根据 $n$ 的素因子个数的奇偶性而取值 $mp1$. 换句话说, 我们有
egin{equation}
  zeta(s)^{-1}=sum_{n=1}^{infty}mu(n)n^{-s} quad (sigma>1),
end{equation}
其中 $mu(n)$ 为 Möbius 函数. 其定义如下:
[mu(n)=egin{cases}(-1)^{omega(n)} & ext{若 $n$ 没有大于 $1$ 的平方因子,} \
0 & ext{在相反的情形.} end{cases}]
且 $omega(n)$ 表示 $n$ 的不同素因子的个数, 特别地, $omega(1)=0$.

在 Euler 乘积公式两边取对数导数, 可得
egin{equation}label{eq:3.7}
-frac{zeta'(s)}{zeta(s)}=sum_{pinmathbb{P}}sum_{ u=1}^{infty}frac{log p}{p^{ u s}}=sum_{n=1}^{infty}frac{Lambda(n)}{n^s},
end{equation}
其中 $Lambda(n)$ 为 von Mangoldt 函数. 其定义如下:
[Lambda(n):=egin{cases}log p & ext{若 $exists ugeqslant1$ 使得 $n=p^{ u}$}, \
 0 & ext{相反的情形}.end{cases}]