Riemann zeta 函数 (Ⅱ)

Riemann zeta 函数 (Ⅱ)

June 12, 2012

• Riemann 的论文思路

下面按照 Riemann 论文的思路揭示 $zeta(s)$ 与素数的关系. 将 Euler 乘积公式
[zeta(s)=prod_{pinmathbb{P}}frac{1}{1-p^{-s}} quad (Re(s)>1)]
两边取对数得 (利用 $log(1-x)=-sum_{n=1}^{infty}frac{x^n}{n}$)
[logzeta(s)=-sum_{pinmathbb{P}}log(1-p^{-s})=sum_{pinmathbb{P}}sum_{n=1}^{infty}frac{p^{-ns}}{n}]
上面的二重级数对 $Re(s)>1$ 绝对收敛, 并且可以改写为 Stieltjes 积分
egin{equation}label{eq:4.1}
logzeta(s)=int_{0}^{infty}x^{-s}\,mathrm{d}J(x) quad (Re(s)>1)
end{equation}
其中 $J(x)$ 是一个特殊的阶梯函数. $J(0)=0$, 之后每越过一个素数就增加 $1$, 每越过一个素数的平方就增加 $1/2$, 每越过一个素数的 $n$ 次方就增加 $1/n$. 而在 $J(x)$ 不连续点 (即 $x=p,p^2,p^3,cdots$ 的点), 其函数值用 $J(x)=frac{1}{2}[J(x^-)+J(x^+)]$ 来定义.

$ x $	$0le x<2$	$2$	$2<x<3$	$3$	$3<x<4$	$4$	$4<x<5$	$5$	$5<x<7$
$ J(x) $	$quad 0quad$	$frac{1}{2}$	$quad 1quad$	$frac{3}{2}$	$quad 2quad$	$frac{9}{2}$	$frac{5}{2}$	$3$	$frac{7}{2}$

$J(x)$ 也可表示为
[J(x)=frac{1}{2}igg[sum_{p^n<x}frac{1}{n}+sum_{p^nleqslant x}frac{1}{n}igg].]

对于任意实数 $x>0$, 记 $pi(x)$ 为不大于 $x$ 的素数 $p$ 的个数, 即

egin{equation}label{eq:4.2}pi(x)=sum_{pleqslant x}1. end{equation}

由 $J(x)$ 与 $pi(x)$ 的定义, 我们易得

egin{equation}label{eq:4.3} J(x)=sum_{n=1}^{infty}frac{pi(x^{1/n})}{n}.end{equation}

由 Möbius 反演公式我们得

egin{equation}label{eq:4.4} pi(x)=sum_{n=1}^{infty}frac{mu(n)}{n}J(x^{1/n}). end{equation}

将 eqref{eq:4.1} 进行一次分部积分, 得

egin{equation}label{eq:4.5} logzeta(s)=sint_{0}^{infty}J(x) x^{-s-1}\,mathrm{d}x end{equation}

接下来将 $J(x)$ 从上面积分中解出来, 得

egin{equation}label{eq:4.6} J(x)=frac{1}{2pi mathrm{i}} int_{a-mathrm{i}infty}^{a+mathrm{i}infty}frac{log zeta(s)}{s}x^s\,mathrm{d}s end{equation}

其中 $a>1$. 这个积分是条件收敛的, 它的定义是从 $a-bmathrm{i}$ 积分到 $a+bmathrm{i}$ ($b$ 为正实数), 然后取极限 $b oinfty$. 计算这个积分的方法现在成为 Mellin 变换. 

由上文我们看到, 素数分布于 Riemann zeta 函数之间存在着深刻关联, 其核心就是 $J(x)$ 的积分表达式. 为做进一步研究,

Riemann 引进了一个辅助函数 $xi(s)$:

egin{equation}label{eq:4.7} xi(s)=GammaBig(frac{s}{2}+1Big)(s-1)pi^{-s/2}zeta(s). end{equation}

易知 $xi(s)$ 是整函数. 利用函数方程[上一篇文章 $(8)$ 或 $(9)$] 我们亦得

egin{equation}label{eq:4.8} xi(s)=xi(1-s). end{equation}

由 $xi(s)$ 的定义中不难看出, $xi(s)$ 的零点必是 $zeta(s)$ 的零点 (这是由于 $Gamma$ 函数没有零点, 且 $xi(1)=xi(0)=-zeta(0)=1/2$). 另一方面, $zeta(s)$ 的平凡零点 $s=-2n$ 恰好是 $Gamma(s/2+1)$ 的极点, 因而不是 $xi(s)$ 的零点与 $zeta(s)$ 的非平凡零点重合. 换句换说, $xi(s)$ 将 $zeta(s)$ 的非平凡零点从全体零点中分离出来了.

我们需要指出的是 $zeta(s)$ 在 $Re(s)>1$ 的区域内没有零点, 也即 $xi(s)$ 在 $Re(s)>1$ 的区域内也没有零点. 由于 $xi(s)=xi(1-s)$, 因此 $xi(s)$ 在 $Re(s)<0$ 的区域内也没有零点. 这表明 $zeta(s)$ 的所有非平凡零点都位于 $0leqslantRe(s)leqslant1$ 的区域内.

$xi(s)$ 可以表达为连乘积关系式:

egin{equation}label{eq:4.9}xi(s)=xi(0)prod_{ ho}Big(1-frac{s}{ ho}Big).end{equation}

再由 eqref{eq:4.7} 式, 得

[logzeta(s)=logxi(0)+sum_{ ho}logBig(1-frac{s}{ ho}Big)-logGammaBig(frac{s}{2}+1Big)+frac{s}{2}logpi-log(s-1).]

对 eqref{eq:4.6} 式进行一次分部积分, 得

egin{equation}label{eq:4.10}J(x)=-frac{1}{2pimathrm{i}}frac{1}{log x}int_{a-mathrm{i}infty}^{a+mathrm{i}infty}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}s}Big[frac{logzeta(s)}{s}Big]x^s\,mathrm{d}s quad (a>1)end{equation}
将 $logzeta(s)$ 的分解式代入上式, 各单项便可分别积出, 其结果如下表.

$quadlogzeta(s)$ 分解式中的项$quad$	$quadqquad$对应的积分结果$quadqquad$
$qquad-log(s-1)qquad$	$qquadqquad Li(x)qquadqquad$
$displaystylesum_{ ho}logBig(1-frac{s}{ ho}Big)$	$displaystyle-sum_{Im( ho)>0}[Li(x^{ ho})+Li(x^{1- ho})]$
$displaystyle-logGammaBig(frac{s}{2}+1Big)$	$displaystyleint_{x}^{infty}frac{mathrm{d}t}{t(t^2-1)log t}$
$qquad logxi(0) qquad$	$qquadqquadlogxi(0)=-log2qquadqquad$
$qquaddfrac{s}{2}logpi qquad$	$qquadqquadqquad 0qquadqquadqquad$

即得

egin{equation}label{eq:4.11} J(x)=Li(x)-sum_{ ho}Li(x^{ ho})+int_{x}^{infty}frac{mathrm{d}t}{t(t^2-1)log t}-log 2.end{equation}

其中 $Li(x)$ 为对数积分, $ ho$ 取遍 $zeta(s)$ 的满足 $0<Re( ho)<1$ 的所有零点 (它们等于 $zeta(s)$ 的虚零点, 称其为非平凡零点或者本性零点, 对于 $ ho$ 的和是将 $ ho$ 与 $1- ho$ 放在一起组编的).

结合 eqref{eq:4.4} 式我们就得到了素数个数 $pi(x)$ 的 Riemann 显示公式. 这也是 Riemann 论文的目标.

• Riemann 猜想与素数定理

$xi(s)$ 的乘积式或者 $logzeta(s)$ 的展开式的收敛性与 $xi(s)$ 的零点分布有着密切的关系. 为此 Riemann 研究了 $xi(s)$ 的零点分布, 并由此提出了三个重要命题: 

命题一    在 $0<Im(s)<T$ 的区域内, $xi(s)$ 的零点数目约为 $(T/2pi)log(T/2pi)-(T/2pi)$. 

命题二    在 $0<Im(s)<T$ 的区域内, $xi(s)$ 的位于 $Re(s)=1/2$ 的直线上的零点数目也约为 $(T/2pi)log(T/2pi)-(T/2pi)$. 

命题三    $xi(s)$ 的所有零点都位于 $Re(s)=1/2$ 的直线上. 

其中命题一于 1905 年, 由德国数学家 Hans von Mangoldt 所证明, 也称 Riemann-von Mangoldt 公式. 命题二与命题三均未解决. 命题三正是著名的 Riemann 猜想.

Riemann 猜想: $zeta(s)$ 的非平凡零点的实部 $Re( ho)=dfrac{1}{2}$.

Riemann 猜想等价于 (von Koch, 1901)

egin{equation}label{eq:5.1}pi(x)=Li(x)+O(x^{frac{1}{2}}log x)Leftrightarrow pi(x)=Li(x)+O(x^{frac{1}{2}+varepsilon})\,(varepsilon>0).end{equation}

而通常的素数定理  (Hadamard, de la Vallée-Poussin, 1896)

egin{equation}label{eq:5.2}pi(x)simfrac{x}{log x}quad (x oinfty)quad ext{或}quad pi(x)=(1+o(1))frac{x}{log x}.end{equation}

说的是 $Re( ho)<1,$ 由此得到的是远比 Riemann 猜想弱的结果.