正五邊形的尺規作圖
Daoyi Peng
May 22, 2014
这个作图是我初中时得到的，念大学时，将其写出来交给我的《初等数学研究》课程老师。
Ptolemy 定理 圓內接四邊形的對角線長度之積等於兩組對邊長度乘積之和.
Fig 1 為正五邊形 $ABCDE$, 考慮圓內接四邊形 $ABDE$, 其中 $|AB|=|AE|=|ED|=a$, $|BD|=|AD|=|BE|=b$, 由 Ptomlemy 定理, 有
[|AB|cdot |ED| +|AE|cdot |BD| = |AD|cdot |BE|.]
即得
[a^2+ab=b^2.]
注意到 $displaystyle a=2Rsinfrac{pi}{5}, b=2Rsinfrac{2pi}{5}$, 從而
[4R^2 sin^2frac{pi}{5} + 4R^2 sinfrac{pi}{5}sinfrac{2pi}{5} =4R^2 sin^2frac{2pi}{5},]
使用倍角公式 $displaystyle sinfrac{2pi}{5}=2sinfrac{pi}{5}cosfrac{pi}{5}$, 上式化為
[1+ 2cosfrac{pi}{5} = 4cos^2frac{pi}{5}.]
解得
[cosfrac{pi}{5}=frac{sqrt{5}+1}{4}.]
於是
[sinfrac{pi}{5} = frac{sqrt{10-2sqrt{5}}}{4}. ]
只需尺規作出長度為 $sqrt{10-2sqrt{5}}$, 即可得到正五邊形.
下面給出正五邊形尺規作圖過程.
Fig 2 中, 作圓 $O$, 易做兩垂直的直徑, 點 $B$ 為所在半徑的中點, 以 $AB$ 長為半徑, $B$ 為圓心畫弧, 交直徑于點 $C$. 以 $A$ 為圓心, $AC$ 長為半徑作圓弧, 交圓 $O$ 于 $D$ 點. $AD$ 長即為圓 $O$ 內接正五邊形的邊長.
[|AO|=2, |BO|=1, |AB|=|BC|=sqrt{5}, |OC|=sqrt{5}-1, |AC|=sqrt{10-2sqrt{5}}.]