UVA.11300 Spreading the Wealth (思维题)
题意分析
现给出n个人，每个人手中有a[i]个数的金币，每个人能给其左右相邻的人金币，现在要求你安排传递金币的方案，使得每个人手中的金币个数相等，并求出转移金币的最小个数。保证(Σa[i])/n为整数。
第一眼没有思绪，这种推导方式还是第一次见到。
设ai为第i个人初始金币数量，xi为第i个人转移给i-1个人金币的数量(i为1表示转移给第n个人)，(Σa[i])/n = m。
有了上述的基础，可以写出每个人的金币表达式：
即每个人最终的金币数量 = 他的初始化数量-转移走的数量+转移来的数量
a1 - x1 + x2 = m
a2 - x2 + x3 = m
a3 - x3 + x4 = m
……
an - xn + x1 = m
可以写出n个式子，但是这n个式子中只有n-1个有用，因为任意一个式子都可以由剩下的n-1个式子推出。读者可以一试：将1至n-1个式子叠加，可以得到第n个式子。
于是我们要想办法利用这n-1个式子，关键就是：转换成单变量。
我们此处都转换成以x1为变量的式子，即用x1表示xi(i≠1)：
x2 = m-a1+x1
x3 = m-a2+x2 = m-a2+m-a1+x1 = 2m-a2-a1+x1
x4 = m-a3+x3 = m-a3+2m-a2-a1+x1 = 3m-a3-a2-a1+x1
……
xn = (n-1)m - Σai( 1<=i<=(n-1) ) + x1
再由于n,m,ai均为常数，上述xi的表达式变量均为x1，但是这样依旧不够，仍旧需要转化成中位数模型
先抛开原题，考虑这样一个问题：
数轴上有n个点，现在求到这n个点的距离和最小的点在哪里。答案就是这些点坐标的中位数。证明笔者就不给出了，可以参考大白书，有兴趣的读者可以一试。
回到原题，我们将xi的表达式改写：
x1 = x1 - 0
x2 = x1 -(a1-m)
x3 = x1 -(a2+a1-2m)
x4 = x1 -(a3+a2+a1-3m)
……
别忘了我们xi表达的是金币转移的数量，即为正数，故所求需要加绝对值，那么 :
|x1| = |x1 - 0|
|x2| = |x1 -(a1-m)|
|x3| = |x1 -(a2+a1-2m)|
|x4| = |x1 -(a3+a2+a1-3m)|
这么一写，是不是就是上面说的中位数的模型了，其中0,(a1-m),(a2+a1-2m),(a3+a2+a1-3m)……不妨看成是数轴上一系列的点。x1即为需要求出的中位数。 求出中位数后，带入上式累加，即可求出最终的答案。
代码总览
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define nmax 1000005
#define ll long long
using namespace std;
ll a[nmax],c[nmax];
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n) != EOF){
ll sum = 0;
for(int i = 0; i<n; ++i){scanf("%d",&a[i]);sum+=a[i];}
ll t = sum/n;c[0] = 0;
//ci 为对应的0，(a1-m),(a2+a1-2m),(a3+a2+a1-3m)……
for(int i = 1 ;i<n; ++i)
c[i] = c[i-1] + a[i] - t;
sort(c,c+n);
//pos为中位数
ll pos = c[n/2],ans = 0;
for(int i = 0; i<n;++i) ans+=fabs(pos-c[i]);
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}