老久没更了，冬令营也延期了（延期后岂不是志愿者得上学了？）
最近把之前欠了好久的债，诸如FFT和Matrix-Tree等的搞清楚了（啊我承认之前只会用，没有理解证明……），FFT老多人写，而MatrixTree没人证我就写一下吧……
Matrix Tree结论
Matrix Tree的结论网上可多，大概一条主要的就是，图中生成树的数量等于 (V-E) 的任一余子式，其中：
- (V) 为对角阵，第 (i) 个元素为点 (i) 的度数
- (E) 为对称阵，对角线为零且 (E_{i,j}) 为点 (i) 与点 (j) 之间边的数量的相反数
图的关联矩阵
为了求无向图中有多少组 (n-1) 条边可以形成树，一般需要枚举所有的可能，无法在多项式内解决，但我们利用数学工具将其转换——引入关联矩阵
为了后面讨论我们给每条边随意分配一个方向。
图的邻接矩阵是一个 (n imes n) 的用于存储图的矩阵。而关联矩阵 (A) 则为 (n imes m) 的矩阵，其中行对应点，列对应边，如果 (A_{i,j}) 非零，则说明第 (j) 条边的起点或终点为点 (i)（如 (i) 为起点则为 (+1)，终点则为 (-1)，否则为 (0)）。如下图即为一张 (4) 点 (5) 边的图的关联矩阵：
可以看到，如果只考虑这张图的结构的话，关联矩阵的行之间或列之间随意交换都是无所谓的（行交换代表点重新编号……）
我们可以证明一个结论，任意连通图的关联矩阵秩为 (n-1)。
有两种理解方式：
- 按行来看：
- 首先去掉任意一行都是可以复原的：因为每一列都是一个 (+1) 一个 (-1)，可以轻松由其他 (n-1) 行得到这一行。故去掉任意一行不会丢失信息，秩 (le n-1)；
- 其次去掉任意两行都是无法复原的：因为任意去掉两行 (x,y)，在这张连通图上找到一条 (x) 到 (y) 的路径，取其中 (x o y) 方向第一条边 (a)、(y o x) 方向第一条边 (b)，则在还原关联矩阵时无法确定非零位置是 ((x,a)&(y,b)) 还是 ((x,b)&(y,a))。故去掉任意两行都会丢失信息，秩 (ge n-1)
- 再按列来看更为显然：
- 由于列对应边，故选取若干列，若这些列对应的边在图上组成了环，则一定线性相关（因为将环按一个方向捋一遍然后加起来一定为零）
- 故要求“最多的线性无关的列”，也即求“在不出现环的前提下最多能找出多少边”，答案显然为 (n-1)
这下从行列两个方向证明了这个结论，但有何用处呢？
我们刚在从列的方向证明结论时用到了“生成树”的概念，仔细考虑一下，求“图中有多少种 (n-1) 条边的组合没有环”，等价于求“关联矩阵中有多少种 (n-1) 列的组合线性无关”
同时我们证明了 (n) 个行中总有一个是多余的，故考虑删去其中一行对答案无影响。
这下将图中的问题转化为了矩阵中的问题，但是否将过程复杂化了呢？
Binet-Cauchy公式
为了解决这个问题，我们需要引入 Binet-Cauchy公式：
若存在 (n imes m) 的矩阵 (A) 与 (m imes n) 的矩阵 (B)，则矩阵 (AB) 的行列式等于：从 (m) 中任意选取 (n-1) 个指标，并取出 (A) 的这 (n) 列得到 (A')，和 (B) 的这 (n) 行的得到 (B')，将它们行列式乘起来得到 (det A' imes det B')，对所有共 (C_m^n) 种选取情况求和。
数学表达：
（其中 (U) 表示集合 ({1,2,dots,m})，(A_S) 表示取出 (S) 中下标的列组成的矩阵，(B_S) 表示取出 (S) 中下标的行组成的矩阵）
可以发现其中几种特殊情况：
- (n=1)：此时公式等价于计算两个 (m) 维向量的点积
- (n=m)：此时公式等价于表示 (det(AB)=det(A)det(B)) 的行列式可乘性质
- (n>m)：此时公式中由于无法选出任何一组，故右边恒等于 (0)，其表达的其实是矩阵 (AB) 不满秩
这个公式的证明过于繁琐，不予展开，但可以感性理解：(AB) 是 (A) 的以 (B) 为系数的线性组合，将 (AB) 的行列式展开后分离贡献，(det (A_S)) 的系数是 (det(B_S))
利用公式
为了解决这个问题引入这个公式，很明显是和其中的共同拥有的“任意选取”、“线性无关”两个因素有关。
很容易想到是想要将图的关联矩阵 (D)（去掉一行后）放入 (A) 或 (B) 的位置，但具体怎么放，另一个矩阵又是什么？
引理：连通图的关联矩阵中，任意一个子矩阵的行列式都为 (pm 1) 或 (0)
证明：
- 若子矩阵不可逆，则行列式自然为零
- 若子矩阵可逆，则不可能每一列都同时存在两个非零项（否则每一列都是一个 (+1) 一个 (-1)，将所有行加起来一定是 (0)），故按只有一个非零项的列进行行列式展开，则可以归纳至低一阶的情况
有了这个引理，可以非常自然的考虑将 (A) 设为 (D)，(B) 设为 (D^T)，则 (A_S) 和 (B_S) 都是取 (D) 的不同列向量组成的矩阵。
由于我们证明了，列线性无关的子矩阵行列式一定为 (pm 1)，则平方后一定为 (1)。再利用上述公式，故原问题的的答案即为 (det (AB))
至于 (AB) 是啥？(AB=DD^T)
考虑下关联矩阵 (D) 的定义，即可发现 ((AB)_{i,j})：
- 当 (i=j) 时：((AB)_{i,i}) 为 (D) 第 (i) 行与自己的点积，由于非零项都为 (pm 1)，则 ((AB)_{i,i}) 即为第 (i) 行的非零项个数——即点 (i) 的度数
- 当 (i e j) 时：((AB)_{i,j}) 为 (D) 第 (i) 行与 (j) 的点积，由于每一列都只有两个元素（一个 (+1) 一个 (-1)），故每个位置如果有值，则一定为 (-1)，((AB)_{i,j}) 即为它们求和——点 (i) 与点 (j) 之间边的数量的相反数
总结
回顾整个过程：
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问题一开始是“有多少种选取 (n-1) 条边的方式，使选出的边构成树”
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然后引入图的关联矩阵，证明了其秩为 (n-1)，同时也发现问题等价于“有多少种在关联矩阵中选取 (n-1) 列的方式，使选出的列线性无关”（同时发现删去关联矩阵任意一行对答案无影响）
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针对“任意选取”和“线性无关”两个特点，引入了同样拥有这两个特点的 Binet-Cauchy公式
- 利用 Binet-Cauchy任意选取的特点，和“线性无关(iff) 行列式非零”的性质，希望将关联矩阵放入公式
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为了将关联矩阵放入公式，证明了关联矩阵中任意一个子矩阵行列式为 (pm 1) 或 (0)
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巧妙地将 (A) 设为 (D)，(B) 设为 (D^T)，则得到的结果 (det(AB))
- 等价于：任取 (D) 的 (n-1) 列求出行列式，平方后求和。
- 等价于：任取 (D) 的 (n-1) 列，行列式非零的方案数
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考虑 (AB=DD^T) 的现实意义，得到开头提到的Matrix Tree定理
有向生成树的扩展
刚才讨论的都是无向生成树，可以考虑到有向生成树的情况：
- 由于点可以重新标号，我们只考虑以 (1) 号点为根的情况
- 由于内向生成树可以将边取反后求外向生成树，故只考虑外向生成树的情况
考虑外向生成树关联矩阵的特点：除了根以外每一行都只有一个 (-1)（树上只有一个父亲）
而若生成树不是外向生成树，则一定存在一个点 (x)，关联矩阵中 (x) 对应的那一行没有 (-1)
所以可以考虑将原来每条边“一个 (+1) 一个 (-1)”中的 (+1) 置为零，则在计算时：
- 如果这棵生成树不是外向生成树，则一定存在一行全为零，其行列式也为零
- 如果这棵树是外向生成树，由于每一行有一个 (-1)，故其行列式为 ((-1)^{n-1}) 也只可能为 (pm 1)