视觉十四讲：第四讲_李群与李代数

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李群与李代数

感觉SLAM十四讲真的是深入浅出。第四讲是李群和李代数，为什么要引入这个概念呢？

　在SLAM中位姿是未知的，我们需要解决“什么样的相机位姿最符合当前观测数据”，一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最优的R,t，使误差最小化。但旋转矩阵自身带有约束（正交且行列式为1），给优化带来困难。通过李群李代数可以将问题转化为无约束的优化问题。

4.1李群李代数基础

例 ：特殊正交群SO（3）和特殊欧式群SE(3)对加法不封闭，对乘法封闭
对于这种只有一个运算的集合，称之为群

群：
是一种集合加上一种运算的代数结构。群上运算的条件如下：

李群是指具有连续（光滑）性质的群。 “想象一个刚体连续在空间中运动”---李群、

通过旋转矩阵引出李代数。过程简单总结一下。主要是从

　1. 旋转矩阵的正交性RRT=I 出发，在实际中相机位姿随时间变化，将其构造为时间t的函数 R(t)R(t)T=I .

2.然后两边对时间求导，得出R(t)'R(t)T 是反对称矩阵，就可用一个向量表示。

3.最后把R（t）在t=0处泰勒展开，解微分方程，得出旋转矩阵可以由exp(Φ t)计算出。这个Φ描述了R在局部的导数关系，这就是SO(3)上的李代数。

->->两边求导 -> -> -> 两边右乘R（t） -> -> 泰勒展开。设R(0)=I -> ->

-> 解微分方程 ->

李代数的定义

　李代数由一个集合v，一个数域F和一个二元运算[,]组成：

李代数so(3)

其与so（3）的关系有指数映射给定R=exp(φ^)

李代数 se(3)

4.2指数与对数映射

具体推导略。主要关注与SLAM利用的公式。推出SO(3)的指数映射 指数映射即为罗德里格斯公式
但是指数映射不是单射，可能存在多个李代数中的元素对应到同一个李群。但我们把旋转角度固定在-+π之间就是一一对应的。

　SE(3)指数映射

4.3李代数求导与扰动模型

BCH公式：

　　对于两个李代指数映射乘积：

以第一个近似为例。该式告诉我们，当对一个旋转矩阵 R2（李代数为 ϕ2）左乘一个微小旋转矩阵 R1（李代数为 ϕ1）时，可以近似地看作，在原有的李代数 ϕ2 上，加上了一项 Jl(ϕ2)-1ϕ1。
同理，第二个近似描述了右乘一个微小位移的情况。于是，李代数在 BCH近似下，分成了左乘近似和右乘近似两种，在使用时我们须加注意，使用的是左乘模型还是右乘模型。

假定对某个旋转 R，对应的李代数为 ϕ。我们给它左乘一个微小旋转，记作 ∆R，对应的李代数为 ∆ϕ。

那么，在李群上，得到的结果就是 ∆R · R，而在李代数上，根据 BCH近似，为： Jl-1(ϕ)∆ϕ + ϕ。合并起来，

可以简单地写成：

反之，如果我们在李代数上进行加法，让一个 ϕ 加上 ∆ϕ，那么可以近似为李群上带左右雅可比的乘法：

同样的,对于SE(3),也有:

SO(3)的李代数求导:
SLAM中，设某个时刻相机位姿为T，观察到了世界坐标系下位于p的点，产生了一个观测数据z，z=Tp+w.w为随机噪声。
误差e=z-Tp
所以我们就是在n组这样的数据中找一个最优T是的整体误差最小化

我们经常会构建与位姿有关的函数，然后讨论该函数关于位姿的导数，以调整当前的估计值

使用李代数解决求导问题的思路分为两种：

1. 用李代数表示姿态，然后对根据李代数加法来对李代数求导。
2. 对李群左乘或右乘微小扰动，然后对该扰动求导，称为左扰动和右扰动模型。
   第一种方式对应到李代数的求导模型，而第二种则对应到扰动模型。

假设我们对一个空间点 p 进行了旋转，得到了 Rp。现在，要计算旋转之后点的坐标相对于旋转的导数

->

第二行的近似为 BCH 线性近似，第三行为泰勒展开舍去高阶项后近似，第四行至第五行将反对称符号看作叉积，交换之后变号。

SO3扰动模型（左乘）

SE3 李代数求导

4.4实践：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
#include "sophus/se3.hpp"

using namespace std;
using namespace Eigen;

/// 本程序演示sophus的基本用法

int main(int argc, char **argv) {

  // 沿Z轴转90度的旋转矩阵
  Matrix3d R = AngleAxisd(M_PI / 2, Vector3d(0, 0, 1)).toRotationMatrix();
  // 或者四元数
  Quaterniond q(R);
  Sophus::SO3d SO3_R(R);              // Sophus::SO3d可以直接从旋转矩阵构造
  Sophus::SO3d SO3_q(q);              // 也可以通过四元数构造
  // 二者是等价的
  cout << "SO(3) from matrix:
" << SO3_R.matrix() << endl;
  cout << "SO(3) from quaternion:
" << SO3_q.matrix() << endl;
  cout << "they are equal" << endl;

  // 使用对数映射获得它的李代数
  Vector3d so3 = SO3_R.log();
  cout << "so3 = " << so3.transpose() << endl;
  // hat 为向量到反对称矩阵
  cout << "so3 hat=
" << Sophus::SO3d::hat(so3) << endl;
  // 相对的，vee为反对称到向量
  cout << "so3 hat vee= " << Sophus::SO3d::vee(Sophus::SO3d::hat(so3)).transpose() << endl;

  // 增量扰动模型的更新
  Vector3d update_so3(1e-4, 0, 0); //假设更新量为这么多
  Sophus::SO3d SO3_updated = Sophus::SO3d::exp(update_so3) * SO3_R;
  cout << "SO3 updated = 
" << SO3_updated.matrix() << endl;

  cout << "*******************************" << endl;
  // 对SE(3)操作大同小异
  Vector3d t(1, 0, 0);           // 沿X轴平移1
  Sophus::SE3d SE3_Rt(R, t);           // 从R,t构造SE(3)
  Sophus::SE3d SE3_qt(q, t);            // 从q,t构造SE(3)
  cout << "SE3 from R,t= 
" << SE3_Rt.matrix() << endl;
  cout << "SE3 from q,t= 
" << SE3_qt.matrix() << endl;
  // 李代数se(3) 是一个六维向量，方便起见先typedef一下
  typedef Eigen::Matrix<double, 6, 1> Vector6d;
  Vector6d se3 = SE3_Rt.log();
  cout << "se3 = " << se3.transpose() << endl;
  // 观察输出，会发现在Sophus中，se(3)的平移在前，旋转在后.
  // 同样的，有hat和vee两个算符
  cout << "se3 hat = 
" << Sophus::SE3d::hat(se3) << endl;
  cout << "se3 hat vee = " << Sophus::SE3d::vee(Sophus::SE3d::hat(se3)).transpose() << endl;

  // 最后，演示一下更新
  Vector6d update_se3; //更新量
  update_se3.setZero();
  update_se3(0, 0) = 1e-4d;
  Sophus::SE3d SE3_updated = Sophus::SE3d::exp(update_se3) * SE3_Rt;
  cout << "SE3 updated = " << endl << SE3_updated.matrix() << endl;

  return 0;
}

评估轨迹误差:
这个例子中偶groundtruth.txt和estimated.txt.两条轨迹，用以下代码读取轨迹，计算误差。

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <unistd.h>
#include <pangolin/pangolin.h>
#include <sophus/se3.hpp>

using namespace Sophus;
using namespace std;

string groundtruth_file = "./groundtruth.txt";
string estimated_file = "./estimated.txt";

typedef vector<Sophus::SE3d, Eigen::aligned_allocator<Sophus::SE3d>> TrajectoryType;

void DrawTrajectory(const TrajectoryType &gt, const TrajectoryType &esti);

TrajectoryType ReadTrajectory(const string &path);

int main(int argc, char **argv) {
  TrajectoryType groundtruth = ReadTrajectory(groundtruth_file);
  TrajectoryType estimated = ReadTrajectory(estimated_file);
  assert(!groundtruth.empty() && !estimated.empty());
  assert(groundtruth.size() == estimated.size());

  // compute rmse
  double rmse = 0;
  for (size_t i = 0; i < estimated.size(); i++) {
    Sophus::SE3d p1 = estimated[i], p2 = groundtruth[i];
    double error = (p2.inverse() * p1).log().norm();
    rmse += error * error;
  }
  rmse = rmse / double(estimated.size());
  rmse = sqrt(rmse);
  cout << "RMSE = " << rmse << endl;

  DrawTrajectory(groundtruth, estimated);
  return 0;
}

TrajectoryType ReadTrajectory(const string &path) {
  ifstream fin(path);
  TrajectoryType trajectory;
  if (!fin) {
    cerr << "trajectory " << path << " not found." << endl;
    return trajectory;
  }

  while (!fin.eof()) {
    double time, tx, ty, tz, qx, qy, qz, qw;
    fin >> time >> tx >> ty >> tz >> qx >> qy >> qz >> qw;
    Sophus::SE3d p1(Eigen::Quaterniond(qx, qy, qz, qw), Eigen::Vector3d(tx, ty, tz));
    trajectory.push_back(p1);
  }
  return trajectory;
}

void DrawTrajectory(const TrajectoryType &gt, const TrajectoryType &esti) {
  // create pangolin window and plot the trajectory
  pangolin::CreateWindowAndBind("Trajectory Viewer", 1024, 768);
  glEnable(GL_DEPTH_TEST);
  glEnable(GL_BLEND);
  glBlendFunc(GL_SRC_ALPHA, GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA);

  pangolin::OpenGlRenderState s_cam(
      pangolin::ProjectionMatrix(1024, 768, 500, 500, 512, 389, 0.1, 1000),
      pangolin::ModelViewLookAt(0, -0.1, -1.8, 0, 0, 0, 0.0, -1.0, 0.0)
  );

  pangolin::View &d_cam = pangolin::CreateDisplay()
      .SetBounds(0.0, 1.0, pangolin::Attach::Pix(175), 1.0, -1024.0f / 768.0f)
      .SetHandler(new pangolin::Handler3D(s_cam));


  while (pangolin::ShouldQuit() == false) {
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

    d_cam.Activate(s_cam);
    glClearColor(1.0f, 1.0f, 1.0f, 1.0f);

    glLineWidth(2);
    for (size_t i = 0; i < gt.size() - 1; i++) {
      glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f);  // blue for ground truth
      glBegin(GL_LINES);
      auto p1 = gt[i], p2 = gt[i + 1];
      glVertex3d(p1.translation()[0], p1.translation()[1], p1.translation()[2]);
      glVertex3d(p2.translation()[0], p2.translation()[1], p2.translation()[2]);
      glEnd();
    }

    for (size_t i = 0; i < esti.size() - 1; i++) {
      glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f);  // red for estimated
      glBegin(GL_LINES);
      auto p1 = esti[i], p2 = esti[i + 1];
      glVertex3d(p1.translation()[0], p1.translation()[1], p1.translation()[2]);
      glVertex3d(p2.translation()[0], p2.translation()[1], p2.translation()[2]);
      glEnd();
    }
    pangolin::FinishFrame();
    usleep(5000);   // sleep 5 ms
  }

}

RMSE = 2.20728 下面是可视化以后的图形