学习：中国剩余定理

中国剩余定理是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孙子定理。

描述

中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

[(S) : quad left{ egin{matrix} x equiv a_1 pmod {m_1} \ x equiv a_2 pmod {m_2} \ vdots qquadqquadqquad \ x equiv a_n pmod {m_n} end{matrix} ight. ]

有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

问题的解：

中国剩余定理说明：假设整数(m_1, m_2,dots, m_n)其中任两数互质，则对任意的整数：(a_1, a_2,cdots, a_n)，方程组 ((S))有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设

[M=prod_{i=1}^{n}{a_i},M_i=frac{M}{a_i},t_i=M_i^{-1}pmod {m_i} ]

那么方程组的通解形式为:

[x=(sum^n_{i=1}{a_i t_i M_i})+kM ]

在模域下只有一个解：

[xequiv sum^n_{i=1}{a_i t_i M_i}pmod M ]

证明

从假设可知，对任何(iin{1,2,cdots,n })，由于$forall jin{1,2,cdots,n}, j eq i,operatorname{gcd}(m_i, m_j) = 1 $，所以 (operatorname{gcd}(m_i,sum_{j ot=i}{m_j}) = 1)，即(operatorname{gcd}(m_i, M_i) = 1.) 这说明必定存在整数(t_{i})使得$ t_i M_i equiv 1 pmod {m_i}. $

考察乘积$ a_i t_i M_i$可知：

[a_i t_i M_i equiv a_i cdot 1 equiv a_i pmod {m_i}, ]

又由于(a_it_iprod_{j ot=i}{m_i})有约数(m_k(k ot=i))，
所以

[forall j in {1, 2, cdots , n}, ; j eq i, ; ; a_i t_i M_i equiv 0 pmod {m_j}. ]

所以(x = a_1 t_1 M_1 + a_2 t_2 M_2 + cdots + a_n t_n M_n)满足：

[forall i in {1, 2, cdots , n}, ; ; x = a_i t_i M_i + sum_{j eq i} a_j t_j M_j equiv a_i + sum_{j eq i} 0 equiv a_i pmod {m_i}. ]

这说明(x)就是方程组((S))的一个解。

另外，假设(x_1)和(x_2)都是方程组((S))的解，那么：

[forall i in {1, 2, cdots , n}, ; ; x_1 - x_2 equiv 0 pmod {m_i} . ]

而(m_1, m_2, cdots, m_n)两两互质，这说明(Mmid(x_1-x_2).)所以方程组((S))的任何两个解之间必然相差(M)的整数倍。而另一方面， (x = a_1 t_1 M_1 + a_2 t_2 M_2 + cdots + a_n t_n M_n)是一个解，同时所有形式为：

[a_1 t_1 M_1 + a_2 t_2 M_2 + cdots + a_n t_n M_n + k M= k M + sum_{i=1}^n a_i t_i M_i, quad k in mathbb{Z} ]

的整数也是方程组((S))的解。所以方程组((S))所有的解的集合就是：

[{k M + sum_{i=1}^n a_i t_i M_i,quad k in mathbb{Z} }. ]

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参考资料

• wikipedia