原文地址:https://www.luogu.org/blog/stonejuice/gao-jing-du-jian-fa-di-op-xie-fa 作者:stone_juice石汁
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多重运算连击
通常来说,我们都是把高精度算法写在了 main函数里面。
优点显而易见,这样写:直观,方便,写法简单,容易上手。
但是,在面对下面这种情况,这样写就优点难受了。
如果一道题目里,要求你进行多次高精度运算,怎么办?
例如 a−b−c−d−.....
这个时候,如果依然按照“简单写法”,先算 a−b,然后 b−c.这样写码量惊人,而且很容易出错。“简单写法”并不再简单。
这时候,我们可以进一步思考。既然需要多次运算,我们可以考虑直接写个高精度运算子函数,每次运算只需要调用即可。
这也是我比较推荐的做法。毕竟很少有题直接考高精度,通常高精度都是辅助工具,多次运算在所难免。
那么我们现在就来了解下这种做法:子函数中写高精度!
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更加便捷的操作
既然我们要写子函数,那么必然会有返回值。
这里可能有些人就犯难了,这个子函数究竟返回什么好?
有些人可能会想到返回数组。但是不知道怎么写。
其实返回数组是可以的,当然,你不可能定义一个数组型变量(shenmegui)。取之而代的,你可以定义返回一个指针。因为指针在某些情况下确实可以当成数组使用。 利用指针传数组的值,也不是不可以。
但是!我并不喜欢用指针。
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首先:指针是个强大的东西,但是就是因为它过于强大,所以经常指针会爆掉。爆空间越界一事那是经常发生,有时候莫名其妙就炸了也不是不可能。
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第二:指针真的很不友好,知识点太多了,用不好就很容易出错。加上刚刚提到的那点,除非你用指针很小心,否则真的容易炸。
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第三,因为我不会(迫真)
所以,我更加推崇字符串。因为我们输入的时候就是采用输入字符串的形式。把字符串放进子函数处理,再返回出来一个答案字符串,对于我们来说更加友好易懂方便。
于是我们定义一个 string 型的字符串。
string _minus(string a, string b) { //代码 }
这样,如果要输出,我们直接输出_ minus(a,b)即可。如果要重复运算也无妨,反正我们输进去是字符串形式,输出也是字符串,输出的字符串可以马上又作为下次运算的输入,没有繁琐的形式转化,完全可以应对复杂的处理。
那么这个子函数怎么写?
首先,我们所有的运算都是在子函数中进行的。在可能有多次运算的情况下,我们不选择把数组开成全局变量(开在函数外),开在外面共用数组可能会导致数字重复混淆。
当然你可以用开更多数组解决问题,但是为何不选择开在函数内呢?
我先把代码扔下来:
#include<bits/stdc++.h> #define mian main #define QWQ puts("QWQ"); #define MAXN 10500 using namespace std; string a, b; string _minus(string a, string b) { int na[MAXN] = {0}, nb[MAXN] = {0}, ans[MAXN] = {0}; string diff; if((a < b && a.size() <= b.size()) || b.size() > a.size()) return "-" + _minus(b, a); for(int i = a.size(); i > 0; i --)na[i] = a[a.size() - i] - '0'; for(int i = b.size(); i > 0; i --)nb[i] = b[b.size() - i] - '0'; int maxl = max(a.size(), b.size()); for(int i = 1; i <= maxl; i ++) { if(na[i] < nb[i]) { na[i + 1] --; na[i] += 10; } ans[i] = na[i] - nb[i]; } while(ans[maxl] == 0)maxl --;//防止减后降位,多输出若干0 if(maxl < 1)return "0"; for(int i = maxl; i > 0; i --)diff += ans[i] + '0';//数组转化为字符串。 return diff; } int main() { cin >> a >> b; cout << _minus(a, b); return 0; }
可以看到:绝大多数,包括核心相减代码都没有变。
我们重点看下变化的部分。
1 、 数组
显而易见,我们把数组开在了里面。开在里面和开在全局变量有些不同,全局变量里的每个空间存的数默认为 0 ,但我不知道开在子函数里会不会影响,所以我还是初定义了一下。
如果写出 a[MAXN]= { 0 },意思就是把 a数组中的全部数设为 0 。 这好像是 0 的特殊福利,因为如果是其他数,例如 a[MAXN]={ 1 }, a 数组只会把 a[0] 设为 1
我们可以用已经定义好的数组继续运算。
2 、 字符串与返回值
由于我们函数设定的 string类,所以返回值也必须是 string 。
所以,我们在最后进行运算时,把普通的输出改成了数组转化为字符串。
呐,就是这句话:
string diff;//已经在子函数最上方定义 for(int i = maxl; i > 0; i --)diff += ans[i] + '0';//数组转化为字符串。 return diff;
这句话的意思是,每次循环,就把 a[i] 转化为字符加到 diff 字符串的末尾。
我们把字符转化为数字时,由于 ASCII 码的存在,所以要减去 48或 ′0′。同理,数字转化为字符也需要加上 48 或 ′0′
最后,答案数组中的全部数字转化为字符,存在 diff 字符串中,直接返回出去。
3、 b>a与 a−b=0 的新写法
我们已经知道,在 b>a和 a−b=0 这两种情况是要特判的。
①先聊聊 b>a。我们一般处理方法是交换两数,在相减后最后在答案前打个负号。
交换两数目的是什么,无非就是把 a−b变为 b−a。
我们现在就不用这种麻烦的方法了,我们现在有逼格十足的子函数!
既然你想要 b−a ,行,子函数调用一遍_ minus(b,a)。在前面打上负号,直接 return返回。
大概就是这么写:
if((a < b && a.size() <= b.size()) || b.size() > a.size()) return "-" + _minus(b, a);
是不是比原来方便了很多?
②再论 a−b=0 。这个就很简单了,判断成立直接返回 0 即可,和原来的方法也相差无几
if(maxl < 1)return "0";
完整代码就是这个了:
#include<bits/stdc++.h> #define mian main #define QWQ puts("QWQ"); #define MAXN 10500 using namespace std; string a, b, c, d; string _minus(string a, string b) { int na[MAXN] = {0}, nb[MAXN] = {0}, ans[MAXN] = {0}; string diff; if((a < b && a.size() <= b.size()) || b.size() > a.size()) return "-" + _minus(b, a); for(int i = a.size(); i > 0; i --)na[i] = a[a.size() - i] - '0'; for(int i = b.size(); i > 0; i --)nb[i] = b[b.size() - i] - '0'; int maxl = max(a.size(), b.size()); for(int i = 1; i <= maxl; i ++) { if(na[i] < nb[i]) { na[i + 1] --; na[i] += 10; } ans[i] = na[i] - nb[i]; } while(ans[maxl] == 0)maxl --;//防止减后降位,多输出若干0 if(maxl < 1)return "0"; for(int i = maxl; i > 0; i --)diff += ans[i] + '0';//数组转化为字符串。 return diff; } int main() { cin >> a >> b >> c >> d; cout << _minus(a, b) << endl;//直接调用 cout << _minus(b, c) << endl; cout << _minus(c, d); //可以看到,这里不管算多少次,调用一下即可,非常方便 return 0; }
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100 % 数据满足-1010086<=a,b<=1010086
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现在还有一个小小的拓展问题。
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我们之前提到的“简单高精度”,它的数据范围并没有涉及 a,b<0的情况。一旦 a,b 出现负数,那么我们又无法处理了。
这时候,我们就需要借助高精度加法!
为什么高精度加法也掺和进来了.........
我们分 3 种情况讨论
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1、 a<0,b>0这种情况下, −a>0,所以我们擦去 a 的负号,并使用 −a运算,于是就有 : −a−b=−(a+b)
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2、 a>0,b<0这种情况下, −b>0,所以我们擦去 b的负号,并使用 −b运算,于是就有 : a−(−b)=a+b (同上)
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3、 a<0,b<这种情况下, −a>0,−b>0 ,所以我们擦去 a,b 的负号,并使用 −a,−b运算,于是就有 : −a−(−b)=b−a
有些人可能会说:使用 −a,−b-运算连正负都改变了,算出来肯定是错的啊?
其实不然。我们之前已经擦去了 a,b的负号,也就是说我们已经把正负换过一遍了。 运算的时候我们不过换回来了而已。
可以看到,要解决上面三种情况,其中 1,2情况都需要借助高精度加法。
假设_ add(a,b) 是高精度相加函数,上述情况可以这样写:
string a,b; cin>>a>>b; if(a[0]=='-'&&b[0]=='-') //当两个数字为负数 { a.erase(0,1); b.erase(0,1);//擦掉a,b打头的负号再运算,下同 cout<<_minus(b,a); //-a-(-b)=-a+b=b-a return 0; } else if(a[0]=='-') //只有a为负数 { a.erase(0,1); cout<<"-"<<_add(a,b); //-a-b=-(a+b) return 0; } else if(b[0]=='-') //只有b为负数 { b.erase(0,1); cout<<_add(a,b); //a-(-b)=a+b return 0; } else cout<<_minus(a,b);
当然,刚刚写的东西都是放在主函数里的。 其实可以写的更简便,代码更短,但是这样分层写要好理解一些。
顺带一提, a.erase(0,1); 是字符串的一种语句,作用是把 a[0] 的那个字符消掉。如果为负,自然那个符号就是负号了。 b 也是同理。
而且,上面介绍的把运算开在子函数里也帮了我们大忙,可以在代码中看出来,可谓是方便快捷。
高精度加法我就不赘述了,方法其实和减法一样,竖式运算,只不过要注意最大位进位而已,其他就没什么好说的了。
于是,我们现在有了一个究极 AC 代码。
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究极代码横空出世了!
#include<bits/stdc++.h> #define mian main #define QWQ puts("QWQ"); #define MAXN 10500 using namespace std; string a, b; string _add(string a, string b)//高精度相加 (为底下a或b为负数相减做铺垫)这个都会吧。 { string sum; int na[MAXN] = {0}, nb[MAXN] = {0}, ans[MAXN + 1]; for(int i = a.size(); i > 0; i --)na[i] = a[a.size() - i] - '0'; for(int i = b.size(); i > 0; i --)nb[i] = b[b.size() - i] - '0'; int maxl = max(a.size(), b.size()); for(int i = 1; i <= maxl; i ++) { ans[i + 1] = (ans[i] + na[i] + nb[i]) / 10; ans[i] = (ans[i] + na[i] + nb[i]) % 10; }//相加 if(ans[maxl + 1] != 0)sum += "1";//特判 防止最大位进位 for(int i = maxl;i > 0; i --)sum += ans[i]+'0'; return sum; } string _minus(string a, string b) { int na[MAXN] = {0}, nb[MAXN] = {0}, ans[MAXN] = {0}; string diff; if((a < b && a.size() <= b.size()) || b.size() > a.size()) return "-" + _minus(b, a); for(int i = a.size(); i > 0; i --)na[i] = a[a.size() - i] - '0'; for(int i = b.size(); i > 0; i --)nb[i] = b[b.size() - i] - '0'; int maxl = max(a.size(), b.size()); for(int i = 1; i <= maxl; i ++) { if(na[i] < nb[i]) { na[i + 1] --; na[i] += 10; } ans[i] = na[i] - nb[i]; } while(ans[maxl] == 0)maxl --;//防止减后降位,多输出若干0 if(maxl < 1)return "0"; for(int i = maxl; i > 0; i --)diff += ans[i] + '0';//数组转化为字符串。 return diff; } int main() { string a,b; cin >> a >> b; if(a[0] == '-' && b[0] == '-') //当两个数字为负数 { a.erase(0, 1); b.erase(0, 1);//擦掉a,b打头的负号再运算,下同 cout << _minus(b,a); //-a-(-b)=-a+b=b-a return 0; } else if(a[0] == '-') //只有a为负数 { a.erase(0, 1); cout << "-" << _add(a, b); //-a-b=-(a+b) return 0; } else if(b[0] == '-') //只有b为负数 { b.erase(0, 1); cout << _add(a, b); //a-(-b)=a+b return 0; } else cout << _minus(a, b); return 0; }