矩阵运算 [转]

原文地址：https://www.cnblogs.com/hanruyun/p/9620029.html
作者：子谦。

嗯，这玩意看着很难对吧，之前我还是这样想的。。直到看到了斐波那契公约数这道题

这道题一看我这种辣鸡就不会做啊，然后rqy告诉我这是傻逼题啊，我忽然就想起了以前听说过的矩阵乘。。然后懒惰的DDOSvoid大佬告诉我要做这道题，得先做斐波那契数列,要做斐波那契数列，得先做矩阵加速,要做矩阵加速，得先做矩阵快速幂。。于是，一个上午就这么过去了

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回归正题

定义

什么是矩阵运算呢？

在理解这个问题前，我们先要知道什么是矩阵

百度百科给的定义如下

矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合

复数实数什么的我们先不管，总之，矩阵就是一堆数，按照矩形排列形成的集合

那么，我们所需要记录的也就是它的长、宽以及矩阵中存储的元素

特殊的，长宽相等的矩阵我们定义它为方阵

当两个矩阵的长宽相等时，我们认为这两个矩阵为同型矩形

若矩阵为方阵，且对角线上的元素为1，其余均为0，则我们定义它为单位矩形，一个矩形与单位矩形相乘仍为原矩形

基本运算

矩阵的运算我们可以类比实数的运算来理解

在实数运算中，一般由进行运算的实数和运算符组成，运算符决定了运算类型

那么同样的，矩阵运算也是如此

加法运算

首先，我们来看加法运算

两个矩阵进行一般的加法运算的前提是两个矩阵为同型矩阵

我们只需要将对应位置的元素相加即可，如下图

在矩阵的加法运算中，满足交换律和结合律，也就是

A+B=B+A$A+B=B+A$

(A+B)+C=A+(B+C)$(A+B)+C=A+(B+C)$

也许有人想问了，如果我想让两个非同型矩形进行相加可不可以实现呢？

答案是可以的，这种运算是被支持的，我们称这种运算为直和

但由于这种运算使用较少，且与本文关系不大，我们在此不多做解释，感兴趣的朋友可以阅览下面的链接，相信它会给你一个满意的答复

矩阵加法

减法运算

在实数运算中，减法为加法的逆运算，同样的，在矩阵运算中也是如此，如下图

数乘

在实数运算中我们并没有数乘这种运算（毕竟本身就是数，直接叫乘法了）

所以在数乘运算中，我们类比向量来进行理解

在数乘向量运算中，只需要将向量中的每个元素乘上那个数就可以了

数乘矩阵也是如此，如图

数乘矩阵运算中，满足如下运算律

(λμ)A=λ(μA)$(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$

(λ+μ)A=λA+μA$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$

λ(A+B)=λA+λB$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

矩阵乘法（矩阵乘矩阵）

在向量乘向量的运算中，是将每个元素与它对应的元素相乘，求所有乘积之和

那么矩阵乘矩阵是不是就是两个同型矩阵的对应元素相乘呢？

图样图森破

两个矩阵相乘的前提是前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数

举个栗子，A$A$为n∗k$n\ast k$矩阵，B$B$为k∗m$k\ast m$矩阵，C$C$为m∗n$m\ast n$矩阵，那么A$A$可以与B$B$相乘，B$B$可以与C$C$相乘，C$C$可以与A$A$相乘，其他均不成立

我们知道了什么情况下两个矩阵可以相乘，那么他们怎么相乘呢？不讲每个对应位置相乘还能怎么乘呢？

设A$A$为n∗k$n\ast k$矩阵，B$B$为k∗m$k\ast m$矩阵,那么它们的乘积C$C$则为一个n∗m$n\ast m$矩阵

Ci,j=∑kr=1Ai,r∗Br,j$C_{i,j}=\sum _{r=1}^k{A}_{i,r}\ast B_{r,j}$

是不是不太好理解，没关系看看图就知道了

在矩阵乘法中满足以下运算律：

(AB)C=a(BC)$(AB)C=a(BC)$

(A+B)C=AC+BC$(A+B)C=AC+BC$

C(A+B)=CA+CB$C(A+B)=CA+CB$

在普通的乘法中，一个数乘1还是等于它本身，在矩阵乘法中也有这么一个“1”，它就是单位矩阵

不同于普通乘法中的单位1，对于不同矩阵他们的单位矩阵大小是不同的

对于n∗m$n\ast m$的矩阵，它的单位矩阵大小为m∗m$m\ast m$，对于m∗n$m\ast n$的矩阵，它的单位矩阵大小为n∗n$n\ast n$

也就是说单位矩阵都是正方形的，这是因为只有正方形的矩阵能保证结果和前一个矩阵形状相同

单位矩阵的元素非0即1，从左上角到右下角的对角线上元素皆为1，其他皆为0

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